数值分析试题答案(2)

《数值分析》模拟试题(二)一、填空题(20分)(1)01(),(),,(),nlxlxlx是以n,,1,0为插值节点的Lagrange插值基函数，则0()niiilx________________.(2)设3()1fxxx，则差商[0,1,2,3]f=_____________，[0,1,2,3,4]f=________________.(3)设f(x)可微，则求方程()xfx的牛顿迭代格式是________________.(4)已知f(0)＝1，f(3)＝2.4，f(4)＝5.2，则过这三点的二次插值基函数l1(x)=________________，]4,3,0[f=________________,插值多项式P2(x)=________________,用三点式求得)4(f________________.(5)数值求解初值问题的二阶龙格—库塔公式的局部截断误差为________________.二、计算题(每小题15分，共60分)1.已知一元方程331.20xx.(1)求方程的一个含正根的区间；(2)给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；(3)给出在有根区间的Newton迭代法公式.2.用n=10的复化梯形公式计算210xedx时，(1)试用余项估计其误差；(2)用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值.3.用列主元消去法解线性方程组1231231232346,3525,433032.xxxxxxxxx4.确定求积公式012()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh中待定参数iA的值(0,1,2)i，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度.三、证明题(10分)设()()[,],max()nnaxbfxCabMfx，若取21cos,1,2,,222kababkxknn作节点，证明Lagrange插值余项有估计式21()max()!2nnnaxbMbaRxn四、程序题(10分)讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快.其中212120203A.数值分析》模拟题二参考答案一、填空题(每小题4分，共20分)(1)x；(2)1，0；(3)1()1()nnnnnxfxxxfx；(4)1777203(4),,1(3),312151260xxxxx；(5)迭代矩阵，)4(51)8(91)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx.二、计算题(每小题15分，共60分)1.(1)(0)1.20,(2)1.80ff，()fx连续，故在(0,2)内有一个正根.(2)331.2xx，23()(31.2)xx，2(0,2)31max|()|11.2xx，所以3131.2nnxx收敛.(3)2()33fxx，31231.233nnnnxxxxx.2.(1)误差21|()|106Rf(2)2100.746xedx.(3)解：234643303243303235253525352543303223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/1143303201182380012即123123233433032,13,118238,8,2.2.xxxxxxxxx(4)分别将2()1,,fxxx，代入求积公式，可得02114,33AAhAh。令3()fxx时求积公式成立，而4()fxx时公式不成立，从而精度为3.三、证明题(10分)(1)()11()()()()!!nnnnkkkkMfRxxxxxnn四、(10分)12112122()()2cos22()max()!2nnnnknknnnaxbabbaxtbabaxxnMbaRxn令12112112103200211210032003JJBIB0，11211)(JB即Jacobi迭代收敛12110021003200000100200214161021000310001002002110200031GB0)1211(2GBI，得迭代收敛SeidelGaussBG__,11211)(.又11111212,SeidelGauss迭代收敛.