北邮研究生泛函分析---加强版---最终稿--2016修改

泛函分析基础(2015年加强版)计算机学院刘见龙1泛函分析基础(2015年加强版)说明1.期末考试试卷上一共有8道题,从下面带有数字序号的43道题中选择6道(组合题按一道题计算).其中,在题目前标有★的是作业题,标有●的是与2014年版本相比的新增题.2.今年版本的复习题和去年版本相比变化较大,为防止老师有可能会从被替换掉的题目中选择2道作为另外的考试题,因此本文档也将被替换的题目列出,即标有字母序号的题目,仅供参考.3.本文档大部分题目均选自主教材《泛函分析基础》(作者:步尚全),每道题目前均标注了题号.但还有一部分补充题目选自补充教材《泛函分析》(作者:孙炯,王万义,赫建文),本文档在每道题目前也标注了题号,仅供参考.4.由于时间仓促,作者虽经几位同学的指点修订了部分错误,但仍然难免存在疏漏之处.对于本文档中的欠缺之处,请同学们继续给予批评指正,谢谢.作者QQ:137666149.索引每道题的标志性语句(【】内为页码)1设(,)Xd为度量空间,令1(,)min{1,(,)}dxydxy，【4】2设(,)Xd为度量空间,MX为非空子集.(有3小题)【4】3设(,)Xd为度量空间,求证:MX为开集……【5】4在[0,1]C上赋予度量,d考虑集合{[0,1]:(0)1}.MxCx【5】5若,,xy设(,)|arctan()arctan()|.dxyxy【6】6设10,1C为闭区间0,1上……【6】7在0,1C上赋予度量d,设[,]:()().YxCabxaxb【8】8设[,]Bab为定义在[,]ab上的所有有界函数.【8】9设(,)Xd为度量空间,MX为非空子集.(有2小题)【9】10设0c固定,取定0,xc【11】11判定下述3的哪些子集构成3的线性子空间【14】12考虑[0,2],nxC【15】13设X为赋范空间,,,,,,nnnxyxyX𝕂.【16】14求证[0,1]C上的和1不为等价范数.【16】15设M为空间中除有限个坐标之外均为0的元素……【16】泛函分析基础(2015年加强版)计算机学院刘见龙216设X为赋范空间,求证:X为Banach空间……【17】17在[1,1]C上定义线性泛函0110(=()(),[1,1].fxxtdtxtdtxC）【18】18设1,.pnp【19】19设X为赋范空间,,.fgX【19】20设X为n维赋范空间,0E是X的真闭子空间.【20】21设X为实内积空间,,.xyX【23】22设X为内积空间,,.nxxX【24】23设X为内积空间,,.xyX求证下述命题互相等价:【24】24H是Hilbert空间,M为H的闭线性子空间.【25】25设[1,1]C为[1,1]上实值连续函数空间【25】26设H为Hilbert空间,(),ABH【26】27设H是Hilbert空间,M为其闭线性子空间,.xH【27】28设H为Hilbert空间,MH为非空子集.求证:M……【27】29在实连续函数空间[1,1]C上考虑内积【28】30设H为Hilbert空间,:1nen为H的标准正交序列,【28】31设12,aa固定,考虑3的线性子空间31233(,,):0,Zxxxx【30】32设X为赋范空间,M为X的线性子空间,0.xX【30】33设X为赋范空间*,.fX【31】3435设X为Banach空间,Y为赋范空间,(,)nTBXY为一系列有界线性算子【31】36设X为赋范空间,,,nnxxXx⇀.x求证:{:1}.nxspanxn【32】37O设,XY为赋范空间,:TXY为闭线性算子,求证:【32】38设H为Hilbert空间,:AHH为线性算子,【33】泛函分析基础(2015年加强版)计算机学院刘见龙339设,XY为赋范空间,(,),:TBXYSXY为闭算子.求证:ST为闭算子.【33】40设,XY为Banach空间,:TXY为有界线性算子.【33】41设ny为数列,假设任取1,nx【34】4243设X为严格凸赋范空间.【34】A设[0,1]vC固定,求证:存在唯一的[0,1],xC【10】B令21()lim(),2TTTXxtxtdttT【12】C设f是定义在距离空间X上的实函数,【13】D如果距离空间X是紧的,证明X是完备的,试说明完备性不蕴含紧性.【13】E设X是完备的距离空间,T是X上的自身的映射,在闭球……【14】F给定闭区间[,],ab考虑所有次数小于等于n的实系数多项式……【15】G设[0,1],XC证明11220()xxtdt是X上的范数,【20】H设(0,1]C是(0,1]上连续且有界的函数()xt的全体.【21】I设X是赋范线性空间,f是X上的线性泛函,【21】J对[,],fLab定义()().xaTfxftdt【22】K若X为有限维线性空间12,,,,neee为X的Hamel基.【23】L设H为Hilbert空间,:1nen和:1nfn均为H的标准正交集,【28】M设,MN是内积空间H的子空间,,.MNLMN【29】N设H是Hilbert空间,若EH是线性子空间并对于……【30】P设,XY为Banach空间,:TXY为有界线性算子且为一一映射.【34】Q设X是中只有有限多个零项的序列构成的子空间.【35】R设12,,,nxxx是赋范空间X中一组线性无关的元素【36】泛函分析基础(2015年加强版)计算机学院刘见龙41-31★1-4.设(,)Xd为度量空间,令12(,)(,)min{1,(,)},(,).1(,)dxydxydxydxydxy求证:1d和2d都是X上的度量.(1)1d的证明:易验证1(,)dxy满足非负性,非退化性,对称性.下面验证1(,)dxy满足三角不等式.先验证结论0,0,ab有min{1,}min{1,}min{1,}.abab①Ⅰ.若01,ab则01,01ab.故min{1,}min{1,}min{1,}ababab,故①式成立.Ⅱ.若1abⅰ.若01a且01b,则min{1,}1min{1,}min{1,}ababab,故①式成立.ⅱ.若1a,则min{1,}1min{1,}min{1,}min{1,}abaab,故①式成立.ⅲ.若1b,则同ⅱ的证明.于是,,,xyzX有1(,)min{1,(,)}min{1,(,)(,)}dxydxydxzdzy11min{1,(,)}min{1,(,)}(,)(,)dxzdzydxzdzy,故1(,)dxy是距离.(2)2d的证明:见例1.1.6.21-5.设(,)Xd为度量空间,MX为非空子集.若xX,令(,)inf(,).yMxMdxy求证:(1)任给,xyX有|(,)-(,)|(,);xMyMdxy(2)xM当且仅当(,)0xM;(3)若M为闭集,则xM当且仅当(,)0xM.(1),,xzX有(,)inf{(,)|}inf{(,)(,)|}xMdxyyMdxzdzyyM(,)inf{(,)|}(,)(,)dxzdzyyMdxzzM,泛函分析基础(2015年加强版)计算机学院刘见龙5即(,)(,)(,).xMzMdxz同理(,)(,)(,)(,).zMxMdzxdxz故|(,)(,)|(,)xMzMdxz.(2)下确界的充要条件:设,MR则infmM的充要条件:ⅰ.,xM都有xm;ⅱ.00,,xM使得0.xm先证:(,)0xMxM(即inf{(,)|}0dxyyM).因为{|0,(,)}MxXMBx,故,若,xM则有0,,yM使得(,),dxy即(,)0.dxy根据下确界的重要条件，得0inf{(,)|}dxyyM,即(,)0xM.再证:(,)0xMxM.(略)(3)(2)的结论的逆否命题(,)0xMxM.若M是闭集,则.MM则当M是闭集,有(,)0xMxM.31-14.41-16.6★1-17.设10,1C为闭区间0,1上连续可导实函数的全体,若1,0,1,xyC令0101,max()()max()().ttdxyxtytxtyt求证:(1)d为10,1C上的度量;求证:(2)10,1,Cd为完备度量空间;求证:(3)实系数多项式之集在10,1C中稠密,进而证明10,1C为可分度量空间.泛函分析基础(2015年加强版)计算机学院刘见龙6(1)略.(2)设()nxt是10,1,Cd中的Cauchy列.要证1()0,1,xtC使得(),()0().ndxtxtn因为()nxt是Cauchy列,则0,0,N当,mnN时,有0,10,1,max()()max()().nmnmnmttdxxxtxtxtxt①由①式,有0,1max()().nmtxtxt故()nxt也是0,1,Cd中的Cauchy列.则()0,1,xtC使得0,1,max()()0(),nntdxxxtxtn②且()nxt一致收敛到()xt.再由①式得0,1max()(),nmtxtxt故()nxt是0,1,Cd中的Cauchy列.故()0,1,ytC使得0,1,max()()0(),nntdxyxtytn③且()nxt一致收敛到()yt.根据函数列一致收敛性质,得()0,1,yt且()lim()lim()().nnxxytxtxtxt④根据①②③④得1()0,1,xtC使得0,10,1max()()max()()0().nnttxtxtxtxtn故10,1,Cd完备.(3)1()0,1,xtC则()0,1.xtC根据Stone-Weierstrass定理,存在实系数多项式(),pt使得max()().4xtpt⑤设0()()(0),qtpdx则()qt是多项式,且()(),qtpt并且000()()()(0)()(0)()(),tttxtqtxdxpdxxpd故100010101max()()max(()())max()().4ttttxtqtxpdxpd⑥泛函分析基础(2015年加强版)计算机学院刘见龙7由⑤⑥得()0,1xtC,存在多项式()qt,使得0,10,1,max()()max()(),442ttdxqxtqtxtqt故实系数多项式在10,1C稠密.下面证1[0,1],Cd可分.考虑实系数多项式01()nnqtaatat.对于112()2nnqtaatnat,存在有理系数多项式112()2nngtbbtnbt,使得[0,1]max()().3tqtgt⑦设00()(),thtgdC其中0C是一个有理数,且00,3Ca则()ht是有理系数多项式,且()().htgt并且0000000[0,1][0,1][0,1]max()()max()()max(()())+tttttthtqtgdCqdagqdCa1000[0,1]2max()().3tgqdCa