均值不等式应用及例题解析(PPT教案)

均值不等式基本不等式abba2均值定理：当且仅当a=b时，式中等号成立。两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值(0,0)2ababab称为它们的几何平均数ab2ab称为正数a、b的算术平均数2212(,)abababR定理（重要不等式）,aabb令22abab定理均值不等式上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想2abab*问题：*均值不等式给出了两个正实数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？(前述称为基本均值不等式也称二元均值不等式)33abcabc?如何证明这个猜想呢类比思想应用定理3三元均值不等式：a、b、c∈N*当且仅当a=b=c时，式中等号成立。语言表述：三个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值2220abcabbcca3322xyxyxxyy3322333xyxxyxyy.,,,,,等号成立时当且仅当那么已知cbaabccbaRcba3333同理三元均值不等式也可由换元得到，只要证明以下不等式成立：证明cabcabcbacba222abccabbabaabccba33333223333因为证明abcabbacba3332233cbaabccbabacba322.021222accbbacbaabcbcacbabacba322221212nnnaaaaaanbaababbaba222221、四个均值不等式链平方平均数≥算数平均数≥几何平均数≥调和平均数2、正数a1,a2,…,an(多元均值不等式))0,(22bababa如常见变式：)0,(222baabba如常见变式：三、均值不等式的应用——用不等式证明不等式2:,01baabab求证、已知例当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用a、b代换两数（有积定直接用均值不等式）当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式a、b代换每项内两数，再用不等式两边相乘的基本定理来解（积积定值直接用）直接用三元均值不等式来解练习4：已知:a,b,c均为正数,求证:3bcacababcabc21:,0.2xxx求证已知例246aa24求证0,已知a:练习二项之积为一个常数直接用均值不等式a、b代换即可.baabbaba22,.3为正数，求证：已知例abba22baab22技巧（构造法），当不等式左边含有元数时，我们采用构造不等式来证明，再不等式两边相乘或相加原理求解。由基本不等式推出的几个常用构造不等式：带常数不等式两边乘上a或b都可以构造带元数的不等式cbaaccbbacba222,,求证：为正数，练习：已知证明：因为所以：两边相加利用带元数的构造不等式，构造出不等式左边各项所带元数，再利用不等式两边相乘或相加求解。abccbaaccbbaRcba222222:,,,:.4求证已知例不等式分母和右边交换，构造不等式相加用求差法证明例4：求差法常用来证明不等式，一般需配项化为平方差的连加形式，因为abc都大于0，这种式子最终都大于0的。——求最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。)0,0(2baabba均值不等式即：积定和最小，和定积最大，可用于最值求解。在求最值时必须强调的三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可注意：”一正二定三相等”是指利用均值不等式证明或求最值必须强调的三个特殊要求：)0,0(2baabba（1）一正：各项都为正数（a、b＞0，由ab做成的两项也需＞0）（2）二定：两项积为定值，和有最小值两项和为定值，积有最大值（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，取的值是否在已知的区间内，否则会出现错误注：用不等式证明和求最值是必须每步验证是否符合的取值范围则，为正数，且，、已知例abbaabba35的取值范围则，为正数，且，练习：已知babaabba3ab≥9a+b≥6解：例6、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？解：设矩形长为a,宽为b则S=ab=100，L=2（a+b）因为a+b≧=20当且仅当a=b=10,a+b=20所以L≧40，当a=10,b=10时L最短，为40.解：设矩形长为a,宽为b则S=ab，L=2（a+b）=36因为a+b=18≧当且仅当a=b=9,axb=81所以S≦81，当a=9,b=9时S最大，为81.例6解：利用均值不等式求函数最值的步骤:练习1)若x0,f(x)=的最小值为_______;此时x=_______.xx31212f(x)3xx解:因为x0,若x0,f(x)=的最大值为_______;此时x=_______.xx312即当x=2时函数的最小值为12.122-12-2当且仅当时取等号,123xx2x即123122xx一正二定三相等二项相乘为定值二项相等时求出的x值是否在已知的区间内，在取等号；如不在不能取等号未知数X，均＞0的值域。）（变式：求函数）的值域。（）（、求函数例xxxfxxxxf1017注意:各项必须为正数,2(0,0)ababab一不正常用二边乘-1不等式要变号的值。的最大值，以及此时求（）（）已知函数、（例xxfxxxxxf)()032182解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值（凑积定）225f(x)2logx(0x1)logx的范围.(2)求函数解：（取值需要判别ab正负，x＞0是对对数函数的，不是对a和b的）11xx例9.函数y=(x≥0)的最小值为______,此时x=______.,二不定需变形∴x=010的最值，求是正数且例abbaba4,.10的最值，求是正数且：变形abbaba42,1的最值，求是正数且：变形abbaba42,2最大值4(a=b=2)最大值2(a=1b=2)最大值8(a=2b=4))1(113)(2xxxxxf练习:1.函数求函数f(x)的最小值.换元法凑积定：从高次到低次逐步用x+1代入分子的x中，边代入边配项，目的使得有二项相乘为定值，不管常数。练习2函数求该函数的最大值,并求出相应x的值.ayx(a4x)(0x,aR)4a/4(x=a/8)（凑和定）：二乘积凑x的系数，使得原乘积的二项x前的系数相同，二项相加时能取消x变为定值练习3.24)(22:4baxfbaba和的最值及此时的求已知练习最小值4，当2a=b时有最小值(a=1/2b=1)4522xxy例11.求函数的最小值.利用对勾函数(t0)的单调性.1ytt5/2(x=0)三不等，改用“单调性”变形:上的值域。，在）求函数（的最小值；）求函数（的最小值；）求函数练习：（321131sin5sin21512222xxyxxyxxy例1２:解:,01xmax2422,,.327xxxy当时31224()2327xxx21(1)(22)2yxxxxx构造三个数相加等于定值.用三元均值不等式求最值42(2)(02)yxxx2函数的最大值？422yxx解：2221422xxx3222142322327xxx22max2342,33227xxxy当且仅当即A、6B、C、9D、1266（）C232233112333123922222yxxxxxxxx解析：21223xx当且仅当时上式取等号即3x9miny例13求函数的最小值)3(31xxxy调的作用。解题时不能忽视函数单、三相等”原则严格遵循“一正、二定求函数最值时，提醒：在用基本不等式小结：利用均值不等式求最值时注意：2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧1、一正、二定、三相等；缺一不可（拆项时常拆成两个相同项）。阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。1121.abRabab1.已知，，且，求的最小值.2411,1222)11)(2(11,12的最小值为、及解法二：由baababbababaRbaba五、错题辨析因为二不定223当且仅当baab2即:ba2时取“=”号122baba而222221abbbaaba22baab23正解即此时223minz2、求函数的最小值．下面甲、乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由)0(322xxxy甲：由知，则0x03,022xxxxxxxy6232232222333min3332,2621822xxyx当且仅当即时2231222yxxxxx乙：332432123yxxx(错解原因是1/x=2/x无法解等号取不到)(错解原因是不满足积定)丙：,023,022xxxxxxxy232323222时，上式取等号即当且仅当3243232xxx33min3623293y332293232323yxxx构造三个数相乘等于定值.注：拆项时一般拆成二个相同的项一正二定三相等2.若x0,当x=时,函数有最值.xxy943.若x4,函数当x=时,函数有最值是.xxy411.若x0,当x=时,函数的最小值是.xxy32/3小125大-64.已知,则的最大值为,此时x=.10x)1(3xx5.若,当x=时,y=x(5–2x)有最大值.250x6.若x0,则最大值为.22xxy3/41/25/425/8六、一题多解方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：