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第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数1．掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)1．幂函数的概念一般地，函数________叫做幂函数，其中_____是自变量，_____是常数．y＝xαxα已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，则α＝________.解析：4α＝2，解得α＝12.答案：122．幂函数的图象与性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)___x∈(－∞，0]___增增x∈(0，＋∞)___x∈(－∞，0)___定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)增减减减若幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上是增函数，则()A．α＞0B．α＜0C．α＝0D．不能确定解析：根据幂函数的性质知，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)内恒为增函数．答案：A判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．1．幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．()2．幂函数y＝xα的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异．()3．幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限．()答案：1.×2.√3.×幂函数的概念函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．思路点拨：根据幂函数的定义―→列方程求出m―→由单调性确定出m解：根据幂函数的定义得m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.【互动探究】在本例中其他条件不变，只改为“f(x)是减函数”，又如何确定m的值？解：根据幂函数的定义得m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，不符合题意．当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数．故m＝－2.1．幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．(2)如果函数解析式以根式的形式给出，那么要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．2．求幂函数解析式的依据及常用方法(1)依据．若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．(2)常用方法．设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.1．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数的定义得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.幂函数的图象与性质已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，14在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时：(1)f(x)＞g(x)?(2)f(x)＝g(x)?(3)f(x)＜g(x)?思路点拨：本题中给出的两个点分别在幂函数的图象上，由幂函数的定义，可用待定系数法先确定两幂函数的解析式，然后根据两幂函数图象的特点再分别确定x的取值．解：设f(x)＝xα，由题意得，2＝(2)α⇒α＝2，∴f(x)＝x2.同理可求，g(x)＝x－2，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图，由图象可知：(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1＜x＜0或0＜x＜1时，f(x)＜g(x)．1．作幂函数图象的原则和方法(1)原则：作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等．(2)方法：首先作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象．2．幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法(1)当α＜0时，其图象可以类似y＝x－1画出；(2)当0＜α＜1时，其图象可以类似y＝x12画出；(3)当α＞1时，其图象可以类似y＝x2画出．2．已知x2x12，试求x的取值范围．解：在同一坐标系中，画出y＝x2，y＝x12的图象，如图．∴满足x2x12的x的取值范围是0x1.幂函数性质的应用比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－1978；(3)－23－23和－π6－23；(4)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.思路点拨：(1)可利用y＝x－52的单调性比较；(2)可利用y＝x78的单调性比较；(3)可利用y＝x－23的单调性比较；(4)可利用“搭桥法”比较．解：(1)函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.1，所以3－52＞3.1－52.(2)－8－78＝－1878，函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又18＞19，则1878＞1978，从而－8－78＜－1978.(3)－23－23＝23－23，－π6－23＝π6－23.函数y＝x－23在(0，＋∞)上为减函数，又23＞π6，所以－23－23＝23－23＜π6－23＝－π6－23.(4)4.125＞125＝1；0＜3.8－23＜1－23＝1；(－1.9)－35＜0，所以(－1.9)－35＜3.8－23＜4.125.1．利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法2．利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．3．比较下列各组数的大小：(1)230.5，350.5；(2)－23－1，－35－1；(3)4.125，－19－35；(4)2334，3423.解：(1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调增函数，又∵23＞35，∴230.5＞350.5.(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调减函数，又∵－23＜－35，∴－23－1＞－35－1.(3)∵4.125＞125＝1，而－19－35＜0，∴4.125＞－19－35.(4)函数y1＝23x为减函数，又34＞23，∴2323＞2334.又函数y2＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且34＞23，∴3423＞2323.∴3423＞2334.1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．3．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0，曲线下凸．点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(二十二)谢谢观看！