高三诊断性测试(理数)

-1-3504004505005506006500.0010.0020.0030.004a频率/组距总成绩(分)高三诊断性测试数学（理）注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．设全集U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩∁UB=A．45，B．1C．23，D．22．复数1(1)(1i)i=A．2iB．-2iC．2D．-23．如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为A.324B．354C.334D．3324.若)2,0(，且2cos1sin(2)22，则tanA.1B．33C.63D．35.已知P为抛物线xy42上一个动点，Q为圆1)4(22yx上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是A．5B．8C．25D．1716．已知:命题p：“1a是2,0xaxx的充分必要条件”；命题q：“02,0200xxRx”.则下列命题正确的是A．命题“p∧q”是真命题B．命题“（┐p）∧q”是真命题C．命题“p∧（┐q）”是真命题D．命题“（┐p）∧（┐q）”是真命题7．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩，并根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图．为了进一步分析学生-2-y=xyxCBAO的总成绩与各科成绩等方面的关系，要从这10000名学生中，再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则总成绩在［400，500）内共抽出A.100人B.90人C.65人D.50人8．已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()3xfxm（m为常数），则3(log5)f的值为A.4B.4C.6D.69．如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(CBAO，曲线xy经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是A．125B．21C．32D．4310．用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是A．36B．32C．24D．2011．函数xxyln的图象大致是12.在ABC中，D为BC的中点，若120A，1ACAB，则AD的最小值是A.33B．43C.32D．22二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13．执行如图的程序框图，那么输出S的值是14．已知213cos4152cos5cos231coscoscos7778根据以上等式，可猜想出的一般结论是输出S开始2,0Sk2012k否1kk是结束11SS-3-15．若变量yx,满足约束条件13215xyxxy，则3log(2)wxy的最大值是16.若实数x、y、m满足xmym＞，则称x比y远离m.若21x比1远离0，则x的取值范围是三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，cba,,分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAbcBcbC（1）求角A的大小；（2）求sinsinBC的最大值.18.（本小题满分12分）已知数列na是公差为2的等差数列,且11a,13a,17a成等比数列.(1)求na的通项公式；（2）令112nnab)(Nn,记数列nb的前n项和为nT,求证：41nT.19．（本小题满分12分）在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为12.（1）求其中甲、乙二名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望.20．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD中，//ABCD，1,60ADDCCBABC，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，1CF.（1）求证：BC平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数321()2,3fxxbxxa2x是()fx的一个极值点.-4-（1）求函数()fx的单调区间；（2）若当[1,)x时，22()3fxa恒成立，求a的取值范围.22.（本小题满分14分）直线l与椭圆22221(0)yxabab交于11(,)Axy，22(,)Bxy两点，已知m),(11byax，n),(22byax，若nm且椭圆的离心率32e，又椭圆经过点3(,1)2，O为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过椭圆的焦点(0,)Fc（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；（3）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：BACADBBACDCD二、填空题：13．1214．21coscoscos2121212nnnnn，nN．15．216．(,2)(2.)x三、解答题17．解：（1）由已知，根据正弦定理得2222abcbcbc即222abcbc，………………3分由余弦定理得2222cosabcbcA1cos,1202AA………………6分（2）由（1）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossinsin(60),06022BBBB…………9分故当30B时，sinsinBC取得最大值1.………………12分18．解：（1）数列na是公差为2的等差数列，-5-11a,13a,17a成等比数列，513aa,1317aa所以由23)1(a)1(1a)1(7a………………3分得21)5(a)1(1a)13(1a解之得31a,所以)1(23nan,即12nan……………6分（2）由（1）得12nan)111(41)1(1411)12(11122nnnnnabnn………9分)1113121211(41nnTn41)1(4141)111(41nn………………12分19．解：（1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“ABAB”，且事件A、B相互独立∴()()()()()PABABPAPBPAPB=11111(1)(1)22222.……………6分（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～1(4,)2B.∴4444111()()(1)()(0,1,2,3,4)222kkkkPkCCk∴变量的分布表为：113110123421648416E…………………………12分20．（1）证明：在梯形ABCD中，∵//ABCD,1ADDCCB，∠ABC＝60，∴2AB……………2分∴360cos2222oBCABBCABAC∴222BCACAB∴BC⊥AC……………4分∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCDAC,BC平面ABCD∴BC⊥平面ACFE…………6分（2）由（1）可建立分别以直线,,CACBCF为轴轴轴，zyx,的如图所示空间直角坐标系，令)30(FM，则)0,0,3(),0,0,0(AC，1,0,,0,1,0MB01234P116143814116-6-∴1,1,,0,1,3BMAB设1n),,(zyx为平面MAB的一个法向量，由1n0AB，1n0BM联立得003zyxyx，取1x，则1n3,3,1，………8分∵2n0,0,1是平面FCB的一个法向量∴cos||||||2121nnnn4311331122……10分∵03∴当0时，cos有最小值77，当3时，cos有最大值12.∴71cos,72………………12分21．解：（1）∵2'()22fxxbx且2x是()fx的一个极值点∴'(2)4420fb32b，………………2分∴2'()32(1)(2)fxxxxx……………3分由'()0fx得2x或1x，∴函数()fx的单调增区间为(,1)，(2,)；………………………………………………5分由'()0fx得12x，∴函数()fx的单调减区间为(1,2)，……………-6分（2）由（1）知，函数()fx在(1,2)上单调递减，在(2,)上单调递增∴当2x时，函数()fx取得最小值，min()(2)fxf=23a，……………8分[1,)x时，22()3fxa恒成立等价于2min2(),[1,)3afxx………………10分即2001aaa.………………12分-7-22.解：（1）∵2222321314cabeaaab…………………2分∴2,1ab∴椭圆的方程为2214yx………………4分（2）依题意，设l的方程为3ykx由22223(4)231014ykxkxkxyx显然0121222231,44kxxxxkk………………5分由已知nm0得：22121212124(3)(3)axxbyyxxkxkx21212(4)3()3kxxkxx222123k(k4)()3k30k4k4……………7分解得2k……………………8分（3）①当直线AB斜率不存在时，即2121,xxyy，由已知nm0，得22221111404xyyx又11(,)Axy在椭圆上，所以221111421||,||242xxxy1121111||||||2||122Sxyyxy,三角形的面积为定值.………9分②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为ykxt22222(4)24014ykxtkxktxtyx必须0即222244(4)(4)0ktkt得到12224ktxxk，212244txxk………………10分∵nm，∴12121212404()()0xxyyxxkxtkxt代入整理得：2224tk…………………11分-8-2121121||1||||()4221tSABtxxxxk…………12分2222||44164142||tkttkt所以三角形的面积为定值.…………………14分