蔡自兴-机器人学数学基础

1中南大学蔡自兴，谢斌zxcai,[e-mail]2010机器人学基础第二章数学基础1Ch.2MathematicalBasisFundamentalsofRoboticsFundamentalsofRobotics2Review2CourseScheduleTop10RoboticsNewsof2008DevelopmentofRoboticsStructure,Feature,andClassificationofRobotsRoboticsandAIFundamentalsofRobotics3ContentsRepresentationofPositionandAttitudeCoordinateTransformationHomogeneousTransformationTransformationofObjectGeneralRotationTransformation3Ch.2MathematicalFoundations44Ch.2MathematicBasis2.1RepresentationofPositionandAttitude位置和姿态的表示DescriptionofPositionzyxApppp(2.1)2.1图位置表示2.1RepresentationofPositionandAttitudeyAxAzAoA{A}App552.1RepresentationofPositionandAttitudeDescriptionofOrientation2.2图方位表示333231232221131211rrrrrrrrrzyxRBABABAAB1;1AATABBBRRRyAxAzAoA{A}yBxBzBoB{B}Ap2.1RepresentationofPositionandAttitude66DescriptionofFrames相对参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量(PositionVector)和旋转矩阵(RotationMatrix)描述。这样，刚体的位姿（位置和姿态）可由坐标系{B}来描述，即(2.9)BoAABRBp}{ABopABR2.1RepresentationofPositionandAttitude2.1RepresentationofPositionandAttitude7ContentsRepresentationofPositionandAttitudeCoordinateTransformationHomogeneousTransformationTransformationofObjectGeneralRotationTransformation7Ch.2MathematicalFoundations882.2CoordinateTransformation坐标变换平移坐标变换(TranslationTransform)2.2CoordinateTransformation(2.10)BoABAppp2.3图平移变换yAxAzAoA{A}yBxBzBoB{B}ApBoBpAp99旋转坐标变换(RotationTransform)(2.11)2.4图旋转变换ppBABARyAxAzAoyBxBzBBp2.2CoordinateTransformation2.2CoordinateTransformation1010Rotationaboutanaxis10000),(cssczRz绕轴旋转2.2CoordinateTransformationyAxAoA{A}yBxB{B}θpcosθsinθcosABppxxsinABppyx00ABppzx2.2CoordinateTransformation1111(2.8)10000),(cssczRcsscxR00001),(csscyR00100),((2.7)(2.6)z绕轴旋转2.2CoordinateTransformationyAxAoA{A}yBxB{B}θpcosθsinθRotationaboutanaxis2.2CoordinateTransformation1212复合变换(CompositeTransform)(2.13)2.5图复合变换BoABABARpppyAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzB2.2CoordinateTransformation2.2CoordinateTransformation13例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。13ABR2.2CoordinateTransformationyAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzB解：303000.8660.50,30303000.50.8660001001ABcsRRzsc2.2CoordinateTransformation14例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。14ABR2.2CoordinateTransformationyAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzB解：01260ABp2.2CoordinateTransformation15例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。15ABR2.2CoordinateTransformationyAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzB解：00.8660.5031211.0980.50.86607613.562001000AABABBpRpp2.2CoordinateTransformation16ContentsRepresentationofPositionandAttitudeCoordinateTransformationHomogeneousTransformationTransformationofObjectGeneralRotationTransformation16Ch.2MathematicalFoundations17已知一直角坐标系中的某点坐标，则该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得。所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。一个向量的齐次表示是不唯一的，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames齐次坐标变换172.3HomogeneousTransformationxpyz1xwxywypzwzw1818HomogeneousTransformationMatrixForm：(2.14)|000|111ABAABBoRpppppBABAT(2.15)BoABABARppp2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames2.3HomogeneousTransformation19yAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzB例2.2已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，用齐次变换方法求它在坐标系{A}中的描述Ap。19解：2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames0.8660.50120.50.866060010010001AAABBoBRTp2.3HomogeneousTransformation20yAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzB例2.2已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，用齐次变换方法求它在坐标系{A}中的描述Ap。20解：2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames0.8660.5012311.0980.50.86606713.562001000000111AABBTpp2.3HomogeneousTransformation2121HomogeneousTransformationofTranslation空间中的某点用矢量ai+bj+ck描述，该点也可表示为：对已知矢量u=[x,y,z,w]T进行平移变换所得的矢量v为：(2.20)1000100010001),,(cbacbaTrans100/010/(,,)001/00011axxawxwabyybwywbvTransabcuczzcwzwcww2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames2.3HomogeneousTransformation2222HomogeneousTransformationofRotation100000000001),(csscxRot100000001000),(csscyRot100001000000),(cssczRot2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames2.3HomogeneousTransformation2323例2.3已知点u=7i+3j+2k，将u绕z轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，求点v、w的坐标。c90s900073s90c900037,90001022000111vRotzu解：c900s9