自身具有阻滞作用的食饵--捕食者模型简单分析

1具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型简单分析【摘要】种群之间的食饵—捕食者模型由于在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。对其进行平衡点的稳定性分析，验证在自然界中的两种种群构成食饵—捕食者系统的相互关系。【关键字】食饵—捕食者自身阻滞作用平衡点稳定性一、问题重述对于Volterra模型，多数食饵—捕食者系统观察不到那种周期动荡，而是趋于某种平衡状态，即系统存在稳定的平衡点。在Volterra模型中考虑自身阻滞作用的Logistic项建立具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型，并对模型的稳定性进行分析。二、问题背景和分析自然界中不同种群之间存在着既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群已靠捕食种群甲为生，食用于和鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。生态学称甲为食饵（Prey），种群已为捕食者（Predator），二者构成了食饵—捕食者系统。然而在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。三、模型假设食饵在自然界中生存若没有捕食者情况下独立生存，自身增长符合Logistic增长，而捕食者在离开食饵没有其他的食饵，在有食饵的情况自身增长亦符合Logistic增长。四、符号说明符号意义t时刻1()xt食饵在t时刻的数量2()xt捕食者在t时刻的数量1r食饵的相对增长率2r捕食者的相对增长率21N食饵的自环境最大容纳量2N捕食者的环境最大容纳量1食饵受捕食者的影响2捕食者消耗食饵五、模型建立、求解与分析5.1模型建立当某个自然环境中只有一个种群生存时，可以同Logistic模型（阻滞增长）述这个种群的演变过程，即：.(1)xxrxN。对于食饵种群在自然环境中生存时他不受捕食者捕食的增长为：.11111()(1)xxfxrxN，在有捕食者的情况下食饵还受到捕食者的捕食，故其还受到捕食者的干预从使食饵增长率减小，在此情况下食饵的增长为：.12111112()(1)xxxfxrxNN。对于捕食者在自然环境中生存没有食饵其死亡导致数量减少，从而为：.22222()(1)xxgxrxN，在有食饵的情况下，食饵降低了捕食者的死亡率是捕食者的增长模型为：.21222221()(1)xxxgxrxNN。得到自身具有阻滞作用的食饵—捕食者模型：.12111112()(1)xxxfxrxNN。.21222221()(1)xxxgxrxNN5.2模型平衡点求解根据以上模型设()0fx和()0gx，解其方程组即可得到平衡点。312111122122221()(1)0()(1)0xxfxrxNNxxgxrxNN解得平衡点有：1(0,0)p、21(,0)PN、112231212(1)(1)(,)11NNP。5.3模型稳定性分析5.3.1稳点点求解根据微分方程平衡点的稳定性分析先求出方程的系数矩阵A，其中：1212''''xxxxffAgg带入()fx和()gx得到：12111111112222122222212122rxxrxrrNNNAxrxrrxrNNN，将平衡点带入A中计算相应的p和q，其中12''()|ixxPpfg、det(|)iPqA(1,2,3)i，当0,0pq时稳定。经计算得到在各个平衡点稳定性如表1表1具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型的平衡点及稳点性平衡点pq稳定条件1(0,0)p12rr12rr不稳定21(,0)PN121(1)rr121(1)rr21112231212(1)(1)(,)11NNP112212(1)(1)1rr121212(1)(1)1rr21根据表1，当21时，由于食饵不能够为捕食者提供足够的食物，21(,0)PN4点稳定，即捕食者将灭绝，食饵趋向环境最大容量；当21时，由于食饵能够为捕食者提供足够的食物，112231212(1)(1)(,)11NNP点稳定，二者共存下去，分别趋向非零的有限值，这也是食饵—捕食者保持共存的最大数量。两者不会共同走向灭绝。5.3.2相轨线分析设11.0r、21.8r、10.5、21.6、16.0N、24.0N得到()fx、()gx的图像（图1）和相轨线（图2）。051015202530354045500510152025x(t)y(t)图121的()fx与()gx的图像051015202512345678图221的()fx与()gx相轨线5由图1可以看出，当21.61是食饵和捕食者会保持相对稳定并且捕食者不会趋近0。设11.0r、21.8r、10.5、20.8、11.6N、21.0N得到()fx、()gx的图像（图3）和相轨线（图4）。051015202530354045500510152025x(t)y(t)图321的()fx与()gx的图像051015202500.511.522.533.54图421的()fx与()gx相轨线由图3可以看出，当20.81是食饵和捕食者会保持相对稳定但捕食者会趋近0即灭绝。6由以上两种模拟计算可得到所得的模型的稳定性分析合理。六、模型优化与推广两种群之间的关系还有相互依存关系，他们也会趋近与某种稳定状态，模型与本模型相似，只是在自身增长来自另一种群的约束。本模型在Volterra模型的基础上加入了自身的阻滞作用更加符合自然界时间情况，但在食饵—捕食者系统中可能还有其他因素导致食饵—捕食者系统不一定趋于如上所述的稳定点，结果可能存在一定的误差。【参考文献】【1】姜启源谢金星叶俊，《数学模型（第三版）》，北京高等教育出版社【2】姜启源谢金星叶俊，《数学模型（第三版）》习题解答参考，北京高等教育出版社7[附录]shier1.mfunctionx=shier1(t,x)r1=1;r2=1.8;a=0.5;b=1.6;N1=6;N2=4;x=[r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2)];endts=0:0.1:50;x0=[252];[t,x]=ode45('shier1',ts,x0);plot(t,x)grid;gtext('x(t)');gtext('y(t)')plot(x(:,1),x(:,2));gridshier2.mfunctionx=shier2(t,x)r1=1;r2=1.8;a=0.5;b=0.8;N1=1.6;N2=1.0;x=[r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2)];endts=0:0.1:50;x0=[252];[t,x]=ode45('shier2',ts,x0);plot(t,x)grid;gtext('x(t)');gtext('y(t)'plot(x(:,1),x(:,2));grid