2019年上半年教师资格证考试初级数学学科真题解析

2019年上半年中小学教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）注意事项：1．考试时间为120分钟，满分为150分。2．请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。1．下列选项中，运算结果一定是无理数的是（）。A．有理数与无理数的和B．有理数与有理数的差C．无理数与无理数的和D．无理数与无理数的差1．【答案】A。解析：本题考查有理数与无理数的性质。（1）有理数与有理数：和、差、积、商均为有理数（求商时分母不为零）。（2）有理数与无理数：①一个有理数和一个无理数的和、差为无理数；②一个非零有理数与一个无理数的积、商为无理数。（3）无理数与无理数：和、差、积、商可能是有理数，也可能是无理数。故本题选A。2．在空间直角坐标系中，由参数方程taztaytax2sin,sin,cos22，)20(t所确定的曲线的一般方程是（）。A．xyzayx2,2B．xyzayx4,2C．xyzayx2,2222D．xyzayx4,22222．【答案】B。解析：本题考查空间曲线的方程。由taztaytax2sin,sin,cos22，可得atatayx22sincos，xyttaz4)cossin2(222，所以将参数方程化成一般方程为xyzayx4,2。故本题选B。3．已知空间直角坐标与球坐标的变换公式为sin,sincos,coscoszyx)22,,0(，则在球坐标系中，3表示的图形是（）。A．柱面B．圆面C．半平面D．半锥面3．【答案】D。解析：本题考査直角坐标与球坐标变换、空间曲面方程。（方法一）设球坐标中任意一点P(,,)，根据题目中空间直角坐标与球坐标的变换公式可知，表示原点O与点P之间的径向距离，表示OP'到OP的有向角，其中OP'是OP在xOy坐标面上的投影，表示Ox轴到OP'的有向角，如图1所示。因此，3表示以原点为顶点，以射线OP为母线，以z轴为中心轴的半锥面，如图2所示。故本题选D。图1图2（方法二）将3代入到sin,sincos,coscoszyx，得22,sin21,cos21zyx消去参数整理得2233yxz，该方程是由yOz平面上的射线)0(3zyz绕z轴旋转得到的，它表示以原点为顶点，以射线)0(3zyz为母线，以z轴为中心轴的半锥面。故本题选D。4．设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等行变换得到的矩阵，则下列结论正确的是（）。A．BAB．BAC．若0A，则一定有0BD．若0A，则一定有0B4．【答案】C。解析：本题考查矩阵初等变换及行列式的性质。对矩阵可以作如下三种初等行（列）变换：①交换矩阵的两行（列）；②将一个非零数k乘到矩阵的某一行（列）；③将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。若方阵A，经过以上三种初等变换得到方阵B，则对应的行列式的关系依次为BA，BAk，BA。即BAa，Ra。所以0A时必有0B。故本题选C。5．已知12)()!12(111)1()(nxnnnxf，则)1(f（）。A．1B．0C．1D．π5．【答案】B。解析：本题考查泰勒展式的相关知识。因为112112153)!12()1()!12()1(!5!3sinnnnnnnxnxxxxx，所以1121sin)()!12(1)1()(nnnxxnxf，0sin)1(f。故本题选B。6．若矩阵5334111yxA有三个线性无关的特征向量，2是A的二重特征根，则（）。A．22yx，B．11yx，C．22yx，D．11yx，6．【答案】C。解析：本题考查矩阵的相似对角化的相关知识。由题意可知，矩阵A可以相似对角化，且2对应两个线性无关的特征向量，所以0xAE)2(有两个线性无关的解，即有2)2(3AEr，所以1)2(AEr。000211133321112yxyxAE，要使1)2(AEr，则有yx1211，可得2x，2y。故本题选C。7．下列描述为演绎推理的是（）。A．从一般到特殊的推理B．从特殊到一般的推理C．通过实验验证结论的推理D．通过观察猜想得到结论的推理7．【答案】A。解析：演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事物应遵循的规律，即从一般到特殊的推理。归纳推理是由个别、特殊到一般的推理，通过实验验证结论和通过观察猜想得到结论的推理都是归纳推理。故本题选A。8．《义务教育数学课程标准（2011年版）》从四个方面阐述了课程目标，达四个目标是（）。A．知识技能、数学思考、问题解决、情感态度B．基础知识、基本技能、问题解决、情感态度C．基础知识、基本技能、数学思考、情感态度D．知识技能、问题解决、数学创新、情感态度8．【答案】A。解析：《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。故本题选A。二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9．一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各20名同学在综合实践基地脱玉米粒，一天内每人完成脱粒数量（千克）的数据如下：甲组：57，59，63，63，64，71，71，71，72，7575，78，79，82，83，83，85，86，86，89乙组：50，53，57，62，62，63，65，65，67，6869，73，76，77，78，85，85，88，94，96问题：（1）分别计算甲、乙两组同学脱粒数量（千克）的中位数；（2分）（2）比照甲、乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义。（5分）9．【参考答案】本题考查统计的相关知识。（1）根据中位数的定义可知，甲组同学脱粒数量的中位数是7527575，乙组同学脱粒数量的中位数是5.6826968。（2）①通过两组数据能够求出甲、乙两组同学脱粒数量的平均值6.74甲x，65.71乙x。根据平均数的大小比较可知，甲组脱粒速度更快。②根据两组数据的波动情况，能够看出甲组数据更为稳定，而乙组数据波动很大。进而可知，甲组学生的脱玉米能力差不多，而乙组学生脱玉米的能力存在很大的个体差异性。也可以理解为，甲组同学在实践活动中的参与性与积极性要高于乙组同学在实践活动中的参与性与积极性。10．试判断过点P1（2，0，1），P2（4，3，2），P3（2，1，1）的平面与平面037221zyx的位置关系，并写出一个与平面垂直的平面方程。10．【参考答案】本题考查平面与平面的位置关系。（1）由题意知，)0,1,4()1,3,2(3121PPPP，，则平面的法向量为)14,4,1(0141323121kjinPPPP。平面037221zyx的法向量为)7,2,21(m，所以有mn//。又点)1,0,2(1P不在平面037221zyx上，所以两平面平行。（2）设平面1与平面2垂直，则平面1的法向量与平面2的法向量垂直，所以不妨取平面1的法向量为)1,3,2(21PP，故可设其平面方程为032dzyx，将P1带入方程解得5d，所以平面1的方程为0532zyx。11．已知方程x5+5x4+5x3_5x2_6x=0的两个实数解为1与2，试求该方程的全部实数解。11．【参考答案】本题考查多项式的因式分解、多项式除法。因为1与2为原方程的解，且易知0也是原方程的一个解，所以原方程等号左边的多项式可以被)2)(1(xxx整除，作除法运算，得0)3)(2)(1)(1()34)(2)(1(655522345xxxxxxxxxxxxxxx，故原方程的所有解为1，0，-1，-2，-3。12．用统计方法解决实际问题的过程，主要包括哪些步骤？【参考答案】用统计方法解决实际问题一般有如下几个步骤：①建立数学模型。分析实际问题，由实际问题抽象出相应的数学模型。②收集数据。根据实际问题设计简单的调查表，或选择其他适当方法（调查、试验、测量）收集数据。其中，在收集数据的过程中，可以全面观测所有总体并得到数据，这一过程称为普查；选取适当抽样方法从总体数据中抽取部分样本进行观测并得到数据的过程叫作抽样调査。③整理数据。对收集到的数据进行审核、校正、整理，从而使之系统化、条理化，并用文字、图画、表格等方式表示数据。其中，可运用条形统计图、扇形统计图、折线统计图等直观地表示数据。④分析数据。运用平均数、中位数、众数等数字特征，对样本数据进行分析，并进一步估计出总体的数字特征。⑤解释数据。结合总体数字特征，对数据进行解读。⑥得出实际问题的相关结论。13．评价学生的数学学习应采用多样化的方式，请例举四种不同类型的评价方式。13．【参考答案】数学学习评价的形式多样，主要有口头测验、书面测验、开放式问题研究、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、建立成长记录袋等。下面列举几种不同的评价方式进行阐述。①口头测验，是指在教学过程中教师通过与学生之间的言语互动，及时地了解学生的数学学习情况，找出问题并及时纠正。②书面测验，是指教师对学生的作业或者其他测验报告所做的书面性的评价。这种评价方式可以帮助教师了解学生的数学学习状态以及知识掌握水平。③书面评语评价，教师对学生的作业或者其他活动报告所做的书面性的评价。评价形式不仅仅是分数或者等级，评语一般以鼓励为主，用以帮助学生认识与解决问题。④课后访谈，是指教师通过课后与学生的沟通交流了解学生数学学习情况的一种评价方式。这种评价方式可以帮助教师更直接地了解学生的数学学习情况。⑤建立成长记录袋，是指将学生数学学习过程进行有效记录而形成的书面存档。这种评价方式既可以帮助师生随时了解学生数学学习的成长经历，也可以有效地帮助学生确立今后的学习目标与方向。三、解答题（本大题1小题，10分）14．设2R为二维欧氏平面，F是2R到2R的映射，如果存在一个实数，01，使得对于任意的P，Q2R，有d(F(P),F(Q))≤d(P,Q)（其中d(P,Q)表示P，Q两点间的距离），则称F是压缩映射。设映射T：2R→2R，2R)()3121())((yxyxyxT，，，，。（1）证明：映射T是压缩映射；（4分）（2）设P0=P0)(00yx，为2R中任意一点，令Pn=T(Pn-1)，n=l，2，3，„，求nnPlim。（6分）14．【参考答案】（1）证明：设),(),(QQPPyxQyxP，是2R上任意的两点，则)31,21()),(()()31,21()),(()(QQQQPPPPyxyxTQTyxyxTPT，),(21)()(21)(41)(41)(91)(41)3131()2121())(),((22222222QPdyyxxyyxxyyxxyyxxQTPTdQPQPQPQPQPQPQPQP即存在满足题意得21，所以映射T是压缩映射。（2）（方法一）设O(0,0)为欧式平面的原点。当P0是原点时，显然Pn(0,0)，所以0limnnP。当P0不是原点时，因为T(O)=0，依据（1）中的计算，有),(21),(1OPdOPdnn，记)0(),(rrOPdn，则rOPdnn)21(),(。对任意0，存在rN2log，当