近世代数课件--1.3子群

LOGO2020/10/27数学与计算科学学院第一章群论2020/10/27目录代数运算§1子群§3群的概念§2循环群§4正规子群与商群§5群的同构与同态§6有限群§72020/10/27§3子群设A是一个非空集合,”“是A上的一个代数运算,S是A的一个非空子集.我们称S关于代数运算”“封闭,是指:对于任意的Sba,,总有Sab.假设S关于代数运算”“封闭.于是,将”“限制在S上,我们便可得到S上一个代数运算”“'.也就是说,我们可以定义S上的2020/10/27§3子群代数运算”“'如下:abba',Sba,.我们约定,将”“在S上的限制”“'也记作”“.显而易见,当A上的代数运算”“适合结合律时,S上的代数运算”“也适合结合律.2020/10/27§3子群定义3.1设G是一个群,集合H是集合G的一个非空子集.我们称H是G的一个子群,是指H满足如下条件:Ⅰ.Hab,Hba,,即H关于群G的乘法”“封闭;Ⅱ.H关于”“构成一个群.2020/10/27§3子群设G是一个群.显然,}{e和G都是G的子群.}{e和G都称为G的平凡子群.若H是G的子群并且集合H是集合G的真子集,则称H为G的真子群.注意若G是一个群,H和K都是G的子群,并且HK,则由子群的定义可知,K也是H的子群.2020/10/27§3子群命题3.2设G是一个群,H是G的一个子群.那么,(1)H的单位元就是G的单位元;(2)对于任意的Ha,a在群H中的逆元就是a在群G中的逆元.证明(1)设e是群G的单位元,'e是子群H的单位元.由于e是G的单位元,我们有''eee.2020/10/27§3子群由于'e是H的单位元,我们有'''eee.因此'''eeee.将该式两边右乘'e在G中的逆元(或者,根据消去律——第9页第5题),即得'ee.(2)对于任意的Ha,设a在G中的逆元为1a,a在H中的逆元为'a.根据(1),我们有'1aaeaa.将该式两边左乘1a(或者,根据消去律——第9页第5题),即得'1aa.□2020/10/27§3子群定理3.3设G是一个群,H是G的一个非空子集.那么,H为G的子群的充分必要条件是:(1)Hab,Hba,;(2)Ha1,Ha.证明先证明必要性.假设H是G的子群.首先,根据子群的定义,H满足条件(1).其次,2020/10/27§3子群对于任意的Ha,根据子群的定义,a在H中有逆元'a.根据命题3.2,1'aa.因此Ha1.所以H满足条件(2).再证明充分性.假设H满足条件(1)和(2).由于H满足条件(1),为了证明H为G的子群,现在只需阐明H关于H上的代数运算”“构成一个群.2020/10/27§3子群事实上,首先,由于G上的代数运算”“适合结合律,因此H上的代数运算”“也适合结合律.其次任取Ha.由于H满足条件(1)和(2),因此Ha1,Haae1.最后,对于任意的Ha,我们有aeaae;eaaaa11.所以H关于H上的代数运算”“构成一个群.□2020/10/27§3子群例1),(R是),(C的子群,),(Q是),(R的子群,),(Z是),(Q的子群;)},0{\(R是)},0{\(C的子群,)},0{\(Q是)},0{\(R的子群.例2设P是一个数域,Nn.于是,)(PnSL是)(PnGL的子群.(参看§2的例2).若令H表示数域P上全体n级可逆的上三角形矩阵构成的集合,K表示数域P上全体n级可逆的对角形矩阵构成的集合,则H是)(PnGL的子群,K是H的子群.2020/10/27§3子群例4考察3S的子集)}132(),123(),1{(3A.易见,3A是3S的子群.例3设V是数域P上的向量空间,W是V的子空间,则),(W是),(V的子群.2020/10/27§3子群设S是一个集合;I是一个非空集合(称为指标集);对于任何Ii,iS都是S的子集.这时,我们称IiiS}{为S的一族子集.令},|{IiSaSaSiiIi,}.st,|{iiIiSaIiSaS.iIiS和iIiS分别称为S的这族子集的交(集)和并(集).2020/10/27§3子群命题3.4设G是一个群,IiiH}{是G的一族子群,则iIiH也是G的子群.□设G是一个群.若S是G的一个子集,则存在G的子群H,使得HS,例如,GH就是这样的子群.此外,容易验证,若1H与2H是群G的两个子群,并且集合1H与集合2H互不包含,则21HH不是群G的子群.2020/10/27§3子群命题3.5设G是一个群,S是G的一个子集.令IiiH}{表示G的包含S的所有子群.则iIiH是G的包含S的最小子群,也就是说,iIiH是G的包含S的子群,并且,对于G的包含S的任何子群H都有HHiIi.□2020/10/27§3子群定义3.6(1)设G是一个群.对于G的任意非空子集S,我们将群G的包含S的最小子群称为群G的由S生成的子群,记作S.(2)设H是群G的一个子群.若S是G的一个非空子集,使得SH,则称S为子群H的一个生成集.2020/10/27§3子群若存在G的有限子集},,,{21naaa,使得},,,{21naaaH,则称H为群G的有限生成的子群.},,,{21naaa通常简记作naaa,,,21.特别地,当naaaG,,,21时,称群G为有限生成的群.2020/10/27§3子群显而易见,}{ee;对于G的任何子群,总有HH.(3)设H是群G的一个子群.若存在Ga,使得aH,则称H为群G的循环子群,并称a为子群H的一个生成元.特别地,若aG,则称G为循环群.2020/10/27§3子群注意设G是一个群,Ga.则}|{Znaan.事实上,一方面,显然,}|{Znaan,并且,由幂的定义和性质可知,}|{Znan是G的子群.因此}|{Znaan.另一方面,显然,anan}|{Z.所以}|{Znaan.由此可见,循环群是交换群.2020/10/27§3子群例5令S表示全体n次对换构成的集合.由于每一个n次置换都可以表示n次对换的乘积的形式,因此SSn.例6整数加群),(Z是循环群,并且1Z.2020/10/27§3子群定义3.7设G是一个群,Gc.若对于任意的Ga总有caac,则称c为G的一个中心元.命题3.8设G是一个群,C是G的全体中心元构成的集合.则C是G的交换子群(称为群G的中心.)2020/10/27§3子群证明显然Ce,因此C非空.现在考察任意的Ccc21,:对于任意的Ga,我们有)()()(212121accaccacc)()()(212121ccacaccac，2020/10/27§3子群111111111)()(caacac111111111)()(accaac，1221cccc.(参看p10第13题.)因此Cccc1121,.所以C是G的交换子群.2020/10/27§3子群定义3.9设G是一个群,Ga.若存在正整数n使得:ean,并且,对于任何小于n的正整数m(如存在)都有eam,则称a的阶为n,记作na||;这时称a为有限阶元素.若对于任何正整数n都有ean,则称a的阶为,记作||a;这时称a为无限阶元素.2020/10/27§3子群设G是一个群,Ga.显然,1||a当且仅当ea;||||1aa;若||a,则对于任意两个不同的整数m和n总有nmaa.2020/10/27§3子群命题3.10设G是一个群,Ga.则||||aa.证明先假设||a.于是,对于任意两个不同的整数m和n总有nmaa.因此||a.所以||||aa.2020/10/27§3子群再假设na||,其中n为正整数.易见,12,,,,naaae是n个互不相同的元素.对于任意整数m,存在整数q和r,使得rqnm,nr0.于是,rrrqnmaeaaaa)(},,,,{12naaae.2020/10/27§3子群由此可见，},,,,{12naaaea,从而，na||.所以||||aa.□推论3.11有限群中元素的阶都有限.□2020/10/27§3子群命题3.12设G是一个群,Ga.若存在某个正整数n使得ean,则na|||.证明令||as.则存在整数q和r,使得rqsn,sr0.若0r,则rrrqsnaeaaaae)(且sr,这与||as矛盾.因此0r,从而,ns|,即na|||.□2020/10/27§3子群作业P14,第2,3,5,6题;P14,第9,10,12，13题.习题参考答案3.设H是群G的子群,Ga,证明:}|{11HhahaaHa也是群G的子群(称为H的一个共轭子群).2020/