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第一章利息与现金流量第一章利息与现金流量主要包括以下内容：利息现金流量利率、终值与现值利息力现金流量的现值利息收入固定利率名义利率与名义贴现率价值方程和交易收益率第一节利息利息与利率单利复利利息与利率利息(interest)指借用某种资本(capital)的代价或借出某种资本的报酬。即借债人除偿还出借人(放款人)原来出借的资本外，还要支付一个附加的补偿，这个补偿叫做利息。单位本金在单位时间（一个计息期）所获得的利息即效用利率(effectiverateofinterest)，又称实际利率，简称为利率。单利假定一个单位本金的投资在每一个单位时间所得的利息是相等的，而利息并不用于再投资。按这种形式增长的利息称为单利。如果一位投资者把总额为C的本金存入单利为i的帐户(这期间没有其他存款和提款)那么，n年以后可得的利息为第n年末的本利和，则niCI)1(niCICSn复利复利就是假定每个计息期所得的利息可以自动地转成投资(本金)以在下一个计息期赚取利息一般地，如果将本金C存入复利为i的帐户，我们假定之后没有对该帐户的存款和提款，设表示第n年末的本利和，那么，第n＋1年的利息为则第n＋1年末的本利和为nniSI111)1(nnnniCiSSS复利假如一个投资者在银行开了一个帐户并存入了100元，该帐户按8%的年利率以复利计息。那么，一年以后，该帐户的本利和为108元，这108元又作为第二年的本金，到第二年末的本利和为108(1＋0.08)＝100(1＋0.08)2＝116.64(元)第二节现金流量精算师在实际工作中经常涉及到对各种现金流量(cashflows)的管理，现金流量就是在不同时期支出或收入的资金金额。例如，一家保险公司会得到保费和投资收入，并支出理赔和支付管理费用。从公司的角度，我们把保费和投资收入看作是具有正值的现金流量(指获得的资金)，而理赔和管理费用的支出看作是负值的现金流量(指支出的资金)。主要包括以下内容：一、偿债抵押二、无息债券三、固定利息债券四、指数关联证券五、基本人寿保险一、偿债抵押假设一个人为了买一所房子，想从建设银行或一家其他银行借一笔钱。银行可能会与他签订一个贷款合同，根据合同，借款者在每月月末支付一系列款项，一直到偿还完全部贷款为止。获准用贷款购买的房地产通常作为该项贷款的抵押物。我们通常称之为房屋抵押贷款。一、偿债抵押例如，假设一家银行准备发放一笔80万元的贷款，贷款分次偿还，在20年内每月偿还5000元。从借款者的角度看，这项交易的现金流量如下所示：注意，在上表中，时间是从贷款之日起按月计量的。表1－1时间(月份)现金流量(元)0123…239240＋800000－600－600－600…－600－600二、无息债券“(zero-couponbond)是指这样一种证券，它没有固定的利息支付，而只是在未来的某一特定日期支付一笔约定的金额。例如，某种债券承诺在2019年10月1日支付给持有者70,000元，此外没有其他支付，这种债券就是一种无息债券，假定在2019年10月1日这种债券的价格是35,160元，对于一个在这一天购买该债券的投资者来说，其现金流量如下所示：表1－2日期时间(年)现金流量(元)1998年10月1日2010年10月1日012－35160＋70000三、固定利息债券政府或公司常常会通过发行债券的方式筹措资金，在许多情况下这种筹措资金以固定利息债券的形式出现，这种债券以某一个确定的名义金额的债券形式发行。最简单的是：债券持有者在未来某些特定时间将得到约定金额的一次总付款以及一系列约定的利息报酬。在一些国家里政府发行的固定利息债券通常被称为“金边债券”或“金边证券”(“giltedgedstocks”或“gilts”)。三、固定利息债券例如，一个票息为7.6%，2019年到期的财政债券，持有一张这种面额为1,000元的债券的人有以下权利：每年获得76元的利息，利息在每年9月30日支付，直到2019年9月30日(包括这一天也支付利息)，并且在这一天偿还本金1,000元。设想一名投资者在2019年9月30日以P元的价格购买了这样一张债券(刚好在当时到期的利息被支付以后)。如果该投资者不必纳税并且持有该债券直至最后偿付日(而不是在早一些时候卖出)，他这项交易的现金流量如下表1－3所示：表1－3日期时间现金流量1998年9月30日1999年9月30日2000年9月30日2001年9月30日…2014年9月30日2015年9月30日2016年9月30日0123…161718－P767676…76761076在表1－3中，时间是从购买日开始按年计的三、固定利息债券如果在上例中，利息改为分期支付，每半年支付一次(每次金额为38元)，利息在每年3月31日和9月30日支付，直到2019年9月30日(包括这一天也支付利息)，则他这项交易的现金流量如表1－4所示：表1－4日期时间现金流量1998年9月30日1999年3月31日1999年9月31日2000年3月31日2000年9月30日…2015年9月30日2016年3月31日2016年9月30日00.511.52…1717.518－P38383838…38381038表中的时间是从购买日开始按年计算的四、指数关联证券传统的固定利息债券每期的利息支付都是同样的金额。如果经济活动中的通货膨胀得不到控制，随着时间的流逝，一定金额的货币的购买力会减少，尤其当通货膨胀率高时效果更为明显。由于这种原因，一些投资人被这样一种证券所吸引，这种证券的利息支付和最终本金返还的实际现金量是与一种反映通货膨胀影响的适当的指数相关联的。(retailpricesindex)或简称为RPI。该指数的值每月公布，有时要调整基准。例如英国的指数是以1987年1月为100作为基准的。8年以后的2019年1月，该指数值为146.0，从1987年1月至2019年1月，该指数和年平均增长率为4.844%。本书对指数关联证券不做详细讨论，但是，我们值得注意的是英国政府于1975年6月发行了指数关联国民储蓄存单(index-linkednationalsavingscertificates)并于1981年3月首次发行了指数关联债券。四、指数关联证券下列的一个假想的例子说明了构成指数关联的基本思想。假设卢里坦尼亚政府6%的2010年到期指数关联债券在1995年5月1日发行。持有一张面额为100元的人在购买该债券后于5月1日获得按面额的6%计算出的6元的利息支付，并且在以后每次5月1日都获得该金额，直至2010年(包括该年)；此外，在2010年5月1日，该债券会按面额100元的方式被赎回（返还）。然而，实际的利息和资本的现金支付会与它们的面额不同，并且取决于卢里坦尼亚零售物价指数，如下所示：(I)在日历年份第n年5月1日支付利息的现金量将会是：值月的年值月的年第元RPIRPI119951n6(II)在2010年5月1日返还本金的现金量将是值月的年值月的年元RPIRPI1199512010100注意：尽管利息支付是在每年5月发生，用于指数化计算的RPI值是1月份的(而不是5月份的)。这反映出这种状况，由于需要一些时间来计算每月的RPI值(以月份某一特定的日子当时的物价为基础计算)，在支付利息的时候人们还不知道5月份的指数值。因此，如果卢里坦尼亚1995年1月的RPI值为184.5，2010年1月的RPI值是332.1，最后的利息支付(在2010年5月1日)将是6元×332.1/184.5＝10.80元，本金返还的数额（在这一天）将是100元×332.1/184.5＝180元。五、基本人寿保险（一）定期寿险保单◆定期寿险保单是这样一种合同；当保单持有人(即投保人)在保单规定期限内死亡时，寿险公司一次性给付一笔保险金(sumassured)，这种保单的期限可能会很长(例如20年)，也可能会较短(例如一年甚至更短)。◆定期寿险保单通常以每年支付一定保费的方式购买，保费通常(但不是必须)是固定金额。年保费通常在保单期限内的每年年初支付，直到被保险人死亡终止或期满，但是，偶尔保费也可能在较短一些的时期里付清或者可以用单独一笔保费购买保单（称为趸缴保费）。五、基本人寿保险（一）定期寿险保单◆例如，考虑如下这个期限为15年的定期寿险保单，保险金额为1,000,000元，每年初支付保费2,000元，保险金在死亡之年年末给付(在保单期限内)。这里的保费金额相对较小，它反映出保单持有人的年龄较小以及相应的死亡风险费低。◆如果保单持有人在投保第九年死亡，那么从人寿保险公司的角度看，该保单能够提供九次数额为正值的现金流量，分别在0，1，2，…8时刻(从开始投保起按年计)，每次金额为2,000元，该保单在时刻9发生一次负值的现金流量(金额为－1,000,000元)。但是，如果保单持有人在保单期限内没有死亡，人寿保险公司将获得每次金额为2,000元的15次数额为正值的现金流量，并且不必返还任何款项。五、基本人寿保险（二）两全保险保单两全保险保单是这样一种合同：当被保险人在保险期内死亡时，或在保险期满时他还活着，寿险公司一次性给付一笔保险金。这种保单经常以每年预付一定水平的保费的方式购买、在被保险人死亡时或在保单期满时终止。考虑如下这个期限为15年的两全保险保单，投保金额为1,000,000元，每年初支付保费58,000元，应付死亡保险金在死亡之年年末支付。对于该保单来说，如果保单持有人在投保第九年死亡，那么从人寿保险公司的角度看，该保单能够提供九次数额为正值的现金流量，分别在0，1，2，…，8时刻；以及在时刻9的一次数额为负值的现金流量(金额为－1,000,000元)。如果保单持有人在保单期限内没有死亡，人寿保险公司将获得15次每次金额为58,000元的数额为正值的现金流量(在0，1，2，…，14时刻)以及在时刻15的一次数额为负值的现金流量(金额为－1,000,000元)。五、基本人寿保险（三）年金保单两全保险金是一次性地给付一笔保险金。年金保单是给付一系列有规律的返还款项作为保险金，年金给付的确切条件有明确的规定。最简单的年金可能是这样：在保单持有人生存期间，每年年末给付一定的水平的款项，假如，设想现在发行一种为年龄60岁的女性准备的保单，人寿保险公司一次性收取100，000元的保费，在保单持有人生存期间每年年末付9，400元。如果保单持有人在保单第七年死亡(即在6和7时刻之间死亡，时间是从发行保单之日起按年计算)，人寿保险公司的该合同的现金流量将包括在时刻0的一笔数额为正值的现金流量(100，000元)和以后的在1，2，3，…6时刻的数额为负值的现金流量(每次－9，400元)，但是如果保单持有人在保单生效后一年内死亡，人寿保险公司，无论怎样都不会发生数额为负值的现金流量。还存在其他种类的年金保险合同，例如，保单条款可能会规定在保单持有人生存期间每年年末给付年金，但是给付次数有一个总的上限。这种保单被称为定期生命年金。第三节利率、终值与现值一、实际利率与名义利率的含义二、终值三、现值一、实际利率与名义利率的含义（一）实际利率我们考虑一种投资，其本金和利息在固定期限的期末支付，没有期中支付的任何数额的利息和本金。在讨论利息问题中时间单位是个重要的概念，它可能是1个月或1年，在实践中较常用的是一年，然而，在某些情况下，选择一个其他的时间单位(例如6个月)也可能会简化问题。设想一个从t时刻开始，期限为1时间单位的金额为1元的投资，假设在t＋1时刻返还1＋i(t)，i(t)即前面提到的该时期的实际利率(effectiverateofinterest)，称为实际利率是为了把它同下面将讨论的名义利率表面利率区分开来(ratesofnorminalorflatinterest)。如果假定利率不取决于投资的金额，那么在t时刻的投资C在t＋1时刻返还的现金是C［1＋i(t)］。容易看出，C从时刻0到时刻n(n是整个正整数)