高等数学函数连续性教学

第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性第一章函数的极限与连续第一节函数及其性质第二节极限第三节函数的连续性分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性2在讨论函数极限时,我们说函数在一点的函数值与极限值是两个不同的问题.它们的关系有函数值不存在，极限存在；函数值,极限值都存在,但不相等；函数值等于极限值.第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性3增量：21uuu终值与初值的差自变量在x0处的增量：0xxx函数y在点x0处相应的增量：00()()yfxxfx一、函数的连续性（一）函数y=f(x)在点处的连续性0x1.增量第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性4xy00xxx0)(xfyx0yxy00xxx0x0y)(xfyx虽然称为增量，但是其值可正可负.例如，当xx0时，x=x-x00,当xx0时，x=x-x00,一般地：x≠0第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性5定义1.3.1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量x在x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f(x0+x)-f(x0)也趋于零，即0000limlim()()0xxfxxfxy则称函数y=f(x)在点x0连续，也称点x0为函数y=f(x)的连续点．第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性6说明：2.函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时,函数值变化也不大.1.函数y=f(x)在点x0连续的几何意义表示函数图形在x0不断开.y0x)(xfy)(0xf0x第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性7定义1.3.2设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)，即00lim()()xxfxfx000lim(0),xxxxx2)1(lim21xx连续。在点连续，在故11)0(20xxx例如：则称函数y=f(x)在点x0连续，也称点x0为函数y=f(x)的连续点．故在x0连续，x21x在点1处连续.第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性83.函数y=f(x)在点x0连续必须同时满足以下三个条件：(1)函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，函数在一点的的连续性同极限一样，都是函数的局部性质。(2)极限(3)函数在x0处极限值等于函数值，即存在；即y=f(x0)存在;第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性9例1讨论函数f(x)=x+1在x=2处的连续性．2lim()(2)3.xfxf0()?limxxfxf(x)在x=2及其近旁有定义且f(2)=3;22lim()lim(1)3;xxfxxf(x)在x=x0及其近旁点是否有定义？若有定义，f(x0)=？00()()limxxfxfx？所以，函数f(x)=x+1在x=2处连续.解第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性10例2讨论函数1sin,0,()0,0xfxxxf(x)在x=0及其近旁有定义且f(0)=0;001lim()limsinxxfxx不存在,因此函数f(x)在x=0处不连续.解在x=0处的连续性．第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性11例3讨论函数1,1,()1,1xxfxxxf(x)在x=1及其近旁有定义且f(1)=0,11lim()lim(1)0,xxfxx不存在.因此函数f(x)在x=1处不连续.11lim()lim(1)2,xxfxx11lim()lim(),xxfxfx1lim()xfx解在x=1处的连续性．第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性12定义1.3.3设函数y=f(x)在(x0-,x0]有定义，称y=f(x)在x0处左连续.00lim()(),xxfxfx2.函数y=f(x)在x0处的左、右连续设函数y=f(x)在[x0,x0+)有定义，且称y=f(x)在x0处右连续.00lim()(),xxfxfx且第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性13定理1.3.1函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续.0x()yfx()yfx0x由于000000lim()()lim()()lim()(),xxxxxxfxfxfxfxfxfx且得:第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性14例4讨论函数()fxf(x)在x=/2及其近旁有定义且f(/2)=1.22lim()lim(1cos)1(),2xxfxxf因此函数f(x)在x=/2处左连续.因此函数f(x)在x=/2处右连续.因此函数f(x)在x=/2处连续.22lim()limsin1(),2xxfxxf1cos,2,sin,2xxxx解在x=/2处的连续性．第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性15定义1.3.4如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每lim()();xafxfalim()(),xbfxfb（二）函数y=f(x)在区间[a,b]上的连续性那么称函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,或者说(4)在右端点b处左连续,即如果y=f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上有定义;(3)在左端点a处右连续,即(2)在开区间(a,b)内连续;一点都连续,称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续.y=f(x)是闭区间[a,b]上连续函数.第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性16若函数y=f(x)在它定义域内的每一点都连续,则称y=f(x)为连续函数.基本初等函数在其定义域内都连续．连续函数的图象是一条连续不间断的曲线．第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性17二、初等函数的连续性定理1.3.2（连续函数的四则运算）注意：和、差、积的情况可以推广到有限多个函数的情形．0()0,gxf(x)±g(x),f(x)·g(x),f(x)/g(x)在点x0处也连续．若函数f(x),g(x)在点x0处连续，则函数第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性18定理1.3.3（复合函数的连续性）设有复合函数y=f[(x)]，若(x)在点x0连续，且(x0)=u0而函数f(u)在u=u0连续，则复合函数y=f[(x)]在x=x0也连续．例如，1(,0)(0,)ux在sin(,)yu在1sin(,0)(0,)yx在内连续,内连续,内连续.第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性19推论若lim(x)=u0，函数y=f(u)在00lim()lim()=()[lim()].uufxfufufx(1)可作变量代换u=(x)求复合函数的极限,即0lim[()]xxfx令u=(x)0lim()uufu点u0处连续，则有:lim()[lim()].fxfx(2)极限运算与函数运算可以交换次序，即这表明:复合函数满足推论条件时:()yfx第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性200ln(1)lim.xxx解10liml(1nlnln1).limxxueuex原式0101lnlnlimlim[(1)][(1)]ln1.xxxxxxe原式例如，求1ln,(1),xyuux设时,,ue处连续.由于1ln(1)ln(1)xxxx或:0xlnyuue且在第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性21定理1.3.4初等函数在其定义区间内是连续的．注:定义区间是指包含在定义域内的区间!第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性22例5计算limarcsin(ln)xex因为arcsin(lnx)是初等函数，且x=e是它的定义区间内的一点，由定理1.3.3，有:limarcsin(ln)arcsin(ln)xexe解arcsin1.2第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性23例6计算011limxxx0011limlim1xxxxxxxx011lim.21xxx解第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性24三、函数的间断点定义1.3.5如果函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，在点x0处不连续，则称y=f(x)在点x0处间断,并称点x0为函数y=f(x)的不连续点或间断点．（一）间断点的概念第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性25设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，则下列情形之一函数f(x)在点x0不连续.(1)在x0处没有定义；(3)虽在x0处有定义，且存在，但0limxxfx00lim()(),xxfxfx(2)虽在x0有定义，但不存在;0limxxfx这样的点x0称为函数f(x)的间断点.第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性26无穷间断点：在第二类间断点中，左、右极限第一类间断点：可去间断点：00()();fxfx跳跃间断点：00()().fxfx函数f(x)在间断点x0处的左、右函数f(x)在间断点x0处的第二类间断点：（二）间断点的分类左、右极限都存在.极限至少有一个不存在.至少有一个为无穷大的点.第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性27例7函数()fx函数在x=1处是否有定义？有定义，且f(1)=-1.是否存在？1lim()xfx存在，且1lim()2xfx是否成立？1lim1xfxf显然1lim()(1)xfxf所以x=1是f(x)的第一类间断点,且是可去间断点．21,1,11,1,xxxx考察x=1处.第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性28说明：所谓可去间断点是指：可以通过改变或补充f(x0)的定义使得从而使函数f(x)在x0处连续.00()lim(),xxfxfx例如：上例中改变定义,令f(1)=2,则21,1,()1,21,xxfxxx则f(x)在x=1处就连续了.第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性29例7函数1,0,()1,0.xxfxxx函数在x=0处是否有定义？有定义，且f(0)=1.是否存在？0lim()xfx所以不存在00lim()lim(1)0xxfxx00lim()lim(1)1xxfxx00lim()lim()xxfxfx0lim()xfx考察x=0处.所以x=0是f(x)的第一类间断点,且是跳跃间断点．第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性30例9函数考察x=0处.1(),fxx函数在x=0处是否有定义？无定义01limxx01limxx是否存在？0lim()xfx所以x=0是f(x)的第二类间断点,且是无穷间断点．第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性31例10函数1sin,yxxy1sin01limsin,xx01limsinxx称x=0是f(x)的震荡间断点．所以x=0是为f(x)的第二类间断点．都不存在.解考察x=0处.0x时,f(x)的值在-1到1之间反复震荡,这时亦第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性32例11讨论函数21()(1)xfxxxf(x)是初等函数，它在其定义区间内连续，显然,f(x)在点x=-1,x=0处没有定义,故f(x)在区间(-,-1),(-1,0),(0,+)内连续,在点x=-1，x=0处间断．解因此我们只要找出f(x)没有定义的那些点．如果有间断点，指出间断点类型．的连续性，第一章函数的极限与连续第三节函数的连续性33在点x=-1处：211111lim()limlim2(1)xxxxxfxxxxx=-1是为f(x)的第一类可去间断点．在点x=0