正交信号-复数的-但不是复杂的

正交信号：复数的，但不是复杂的byRichardLyons简介正交信号是基于复数的概念的。这些数字和它们的诸如j-operator（算符，算子），complex（复数的），imaginary（虚部的），real（实部的），orthogonal（正交的）的术语，可能比其他题目更能给数字信号处理的新手们带来心痛。如果你有点不确定复数和j=sqrt(-1)（-1开平方根）算子的实际（physical）意义，不要感觉糟糕，没关系。为什么甚至是KarlGauss（高斯），世界最伟大的数学家之一，曾把j-operator叫做“影子们的影子”。这里，我们会给这个影子些许光亮，那样，你就再不用打正交信号心理（PsychicHotline）热线求助了。正交信号处理被用于科学和工程的很多领域，并且，描述在现代数字通信系统中的处理方法和实现（processingandimplementation），正交信号是必须的。在这次指导课，我们会回顾复数的基础（fundamentals），并且习惯（getcomfortablewith）他们怎样被用于表示正交信号。接下来，我们会检查（examine）与正交信号代数符号(algebraicnotation)相关的负频率的概念（notion），并且，学习说正交处理的语言（learntospeakthelanguageof）。另外，我们将用三维的时间和频率域图（plot）来给正交信号一些实际意义。这次指导课的最后，简要的介绍了怎样通过正交采样（quadrature-sampling）的手段生成正交信号。为什么关心正交信号？正交信号形式（formats），也被叫做复信号（complexsignals），在很多数字信号处理应用中被使用，例如：-数字通信系统-雷达系统-无线电测向系统中的到达时间差处理（timedifferenceofarrivalprocessinginradiodirectionfindingschemes）-相参脉冲测量系统-天线波束形成应用-单边带调制器（singlesidebandmodelators）-等等。这些应用都属于一个被称为正交处理的一般范畴，并且他们通过实现正弦（sinusoidal）信号相位的相参测量来提供额外的处理能力。一个正弦信号是一个二维的信号。这个二维信号在某时刻的瞬时值可以用一个有两个部分组成的复数来确定，这两个部分即我们所说的实部（realpart）和虚部（imaginarypart）。（real和imaginary两词，虽然很传统，但是它们在我们日常对话中的意思使它们在这里的使用显得有点不太合适。因此，通信工程师们使用同相（in-phase）和正交相位（quadraturephase）两个术语。后边更多的使用这两个术语（Moreonthatlater））。让我们来回顾这些复数的数学表示。复数的发展和表示为了建立我们的术语，我们定义一个实数是那些我们在日常生活中使用的数字，如一个电压，一个华氏温度，或者是你支票账户的结余。这些一维数字既可以是正的，也可以是负的，见图1（a）。在图中我们展示了一个一维的轴线，并且说，一个实数可以用轴上的一点来表示。传统上，我们把这个轴叫做实轴。在图1（b）中，复数C也被表示为一个点。但是，复数并不限于坐落在一条一维线上，而是位于一个二维平面中的任何地方。这个平面被叫做复数平面（complexplane）（一些数学家喜欢把它叫做阿尔干图（Arganddiagram）），并且它给我们提供了表示既有实部又有虚部的复数的手段。例如在图1（b）中，复数C=2.5+j2是一个位于复数平面中的既不在实轴也不在虚轴上的点。我们通过沿着实轴走+2.5个单位，再沿虚轴向上走+2个单位来定位点C。你可以把实轴和虚轴看作是地图上的东西方向和南北方向。我们将用一个几何学（geometric）的观点来帮助我们理解一些复数的计算。看下图2，我们用直角三角形（righttriangle）的三角原理（trigonometry三角学）来说明几个不同的表示复数C的方法。在资料中，复数C被许多的不同方式来表示，例如：表示名称数学表达备注矩形形式C=a+jb（1）用于解释的目的。最易于理解。也被叫做笛卡尔形式（Cartesianform）。三角形式C=M[cos(Φ)+jsin(Φ)]（2）通常用于在通信系统中描述正交信号。极坐标形式C=MejΦ（3）最费解的，但是数学公式中的主要形式。也被叫做指数形式。有时也被写作Mexp（jΦ）。幅度-角度形式C=M∠Φ（4）用于描述的目的，但是在代数公式中太难使用。实质上是公式（3）的简略版本。公式（3）和（4）提醒我们c也可以被认为是复平面上一个相量的末端，幅度为M，方向为Φ度（相对于正实轴），见图2。记住，C是个复数，而变量a，b，M和Φ都是实数。C的幅度，有时被称做c的模（modulus），即M=∣c∣=sqrt（a2+b2）（5）相位角Φ，或者幅角（argument），是虚部实部比的反正切值，或表示为如果我们令公式（3）等于公式（2），MejΦ=M[cos(Φ)+jsin(Φ)]，我们表述为向其致敬而以他的名字命名的欧拉恒等式之一如下：ejΦ=cos(Φ)+jsin(Φ)（7）疑心的读者应该正在发问，“为什么用那个用自然对数（naturallogarithm）的底e的奇怪表达式来代表一个复数是有效的，提出了一个虚构的权力？”我们可以证明公式（7），就像世界最伟大的无穷级数（infiniteseries）专家HerrLeonardEuler（欧拉）那样做的，通过给图3的顶上那行里的ez的级数展开表述中的z代入jΦ。这个代入展示在第二行。接下来，我们求j的高次值得到图中第三行的级数。你们中那些像欧拉那样高的数学技巧（或者那些查过一些数学参考书）的人会在第三行里认出那些交替的项就是cosine和sine函数的级数展开表达式。图3证明了公式（7）和我们用公式（3）极坐标形式（MejΦ）对复数的表述。图3的第一行中，如果你用-jΦ来替换z，最终你会得到一个稍有不同的，并且很有用的欧拉公式形式：e-jΦ=cos(Φ)-jsin(Φ)（8）公式（7）和（8）的极坐标形式对我们有好处是因为：-它简化了数学的推导和分析，--把三角法的公式转换成简单的指数的代数，并且--复数的数学运算得以遵照与实数同样的规则-它让信号的相加只是复数的相加（矢量相加），-它是最简洁的表示。-它表明了数字通信系统是如何实现的，并且在文献中进行了描述（intheliterature）。我们将用公式（7）和（8）来理解正交信号是为什么并且如何在数字通信应用中被使用。但首先，让我们深吸一口气，进入j算子的模糊区域（twilightzone）。之前，你已经看到了j=sqrt（-1）的定义。口头上表述，我们说j代表一个乘以自己等于-1的数。这个定义会给初学者造成困难，因为我们都知道任何数的平方总得到一个正数。（遗憾的是，数字信号处理课本经常定义j，然后，带着合理的轻率，迅速的习惯于与j算子可以被用于分析正弦信号的各种方法。读者们很快忘了那个问题：j=sqrt（-1）到底意味着什么？）其实，sqrt（-1）曾经在数学领域出现了一段时间，但并没有被认真对待直到在16世纪的时候它不得不被用于解决三次方程（cubicequation）。数学家们不情愿的开始接受sqrt（-1）的抽象概念，而不需要将其形象化，因为它的数学特性与一般实数的计算是一致的。是欧拉把复数和真实的正弦及余弦等同起来，然后高斯聪明地引入复数平面，最终在18世纪，使sqrt（-1）的概念有了合法地位。超越了实数的领域的欧拉，说明了复数和熟知的正弦和余弦实三角函数有着干净利落的一致的关系。如同爱因斯坦说明了质和量的等价，欧拉说明了实正余弦函数与复数的等价。如同现代的物理学家们不知道什么是电子，但他们理解它的特性一样，我们不用为了j是什么而担心，而只需要因为理解它们的作用就够了。就我们来说，j算子表示把一个复数逆时针旋转90度。让我们来看为什么这样。见图4，通过检查（examine）j=sqrt（-1）算子的数学特性，我们将习惯于复数的复平面表示。j乘以任何一个实轴上的数会得到一个位于虚轴上的虚的产物。图4中的例子中，+8被用位于正实轴上的一个点表示，+8乘以j得到一个虚数，+j8，与+8相比，在复平面中的位置被逆时针旋转了90度，位于正虚轴。类似的，因为j2=-1，+j8乘以j将引起另一个90度旋转，得到了位于负实轴上的-8。-8乘以j引起进一步的90度旋转得到位于负虚轴上的-j8。不论何时一个用点表示的任意数字乘以j，结果都是90度的逆时针旋转。（相反的，乘以-j，就引起复平面上的90度顺时针旋转。）如果我们令公式7中的Φ=Π/2，我们得到ejΠ/2=cos（Π/2）+jsin（Π/2）=0+j1，即ejΠ/2=j（9）这儿有一点要记住，在复平面上的一个用点表示的复数，乘以j或者ejΠ/2会引起逆时针90度旋转而得到一个新的复数。别忘了这个，因为它会在你开始阅读正交处理系统文献的时候有用。让我们暂停一会来歇一口气。如果虚数和复平面的概念看起来有点难以理解，别担心。任何人刚开始都是这个样子。你越多用它们，你会越习惯它们。（记住，j算子曾使欧洲的重量级数学家们迷惑了数百年。）必须承认，刚开始的时候，不仅是复数的数学有点奇怪，其术语也几乎古怪。虽然“虚数的”这个词对我们来是不习惯，但“复数”这个词就是十足的怪异了。在第一次遭遇的时候，复数这个短语让我们联想到复杂的数字。可惜的是，复数的概念并不都那么复杂。要明白，上面的冗长讲述只是用来证明公式（2），（3），（7）和（8）的。现在，终于，让我们来讲讲时域信号。用复相量表示实信号好吧，我们现在把注意力放在是时函数（afunctiontime）的复数上。考虑一个信号，它的幅度是1，而且它的相位角随时间增大。这个复数就是图5（a）上的那个点ej2Πf0t。（这里，2Πf0是以弧度/秒为单位的频率，并且它与以赫兹（即周/秒）为单位的频率f0是一致的。）随着时间t变大，这个复数的相位角增大，并且绕复平面的原点按逆时针方向做圆周运动。图5（a）上，该复数用黑点表示，在某一任意瞬时时刻静止。如果f0=2Hz，那么，那个点会按照每秒两圈的频率绕圈。我们也可以考虑一下另一个复数e-j2Πf0t（白点表示），它将随时间的增长，顺时针绕圈。现在，让我们把ej2Πf0t和e-j2Πf0t两个复数表达式称作正交信号。它们各自都拥有实部和虚部，并且都是时间的函数。在文献中，这两个表达式经常被称作复指数（complexexponentials）。我们也可以把这两个正交信号，ej2Πf0t和e-j2Πf0t，当作是图5（b）中两个按相反方向旋转的矢量的末端。我们目前将继续使用这个相量表示，因为它将允许我们达到我们在复平面的背景中表示实正弦信号的目的。Don’ttouchthatdial!为了确保我们理解这些相量的作用，图6（a）显示了相量ej2Πf0t随时间变化的三维轨迹。我们加入了时间轴（出页面方向），来显示该相量的螺旋形轨迹。图6（b）显示了仅有相量ej2Πf0t的末梢的连续形式。复数ej2Πf0t，或者你愿意叫做相量的末端，以时间轴为中心，沿着螺旋形轨迹向由里及外延伸。图6（b）中，ej2Πf0t的实部和虚部就是正弦和余弦投影。回到图5（b），问你自己：这两个沿反方向旋转的相量的矢量和是什么？考虑一会儿…对了，相量的实部会总是同向相加（addconstructively），虚部总是会抵消。这就意味着相量ej2Πf0t和e-j2Πf0t相加总是会得到一个实数。现代数字通信系统的实现就是基于这一特性。为了强调这两个复正弦曲线（complexsinusoids）的实数和的重要性，我们再画另一幅图。见三维图7中的那个波形，它由ej2Πf0t/2和e-j2Πf0t/2这两个以时间轴为中心沿相反方向旋转伸展的半幅度复相量相加得到。考虑下这些相量，现在很明确，为什么余弦曲线可以等价于两个复指数的和公式