2011年成人高考专升本高数试题及答案一、填空题:1~5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中横线上.1.若,,2yxyyxyxf则yxf,1()2xxy.2.xnisxinsxx1lim200.3.设322axxy在1x处取得极小值,则a=4.4.设向量,23aijbjk,则ab2.5.201xdttdxd212xx.二、选择题:6~10小题,每小题4分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.6.函数41922xxxf的定义域是[C](A),22,;(B)3,22,3;(C)3,22,3;(D),32,23,.7.曲线26322xxy上点M处的切线斜率为15,则点M的坐标是[B](A))15,3(;(B))1,3(;(C))15,3(;(D))1,3(.8.设cos(2)zxy,则zy等于[D](A)sin(2)xy;(B)2sin(2)xy;(C)sin(2)xy;(D)2sin(2)xy。9.下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是[D](A)Axy,2,1x;(B))1ln(xy,1,1x;(C)xy1,1,1x;(D))1ln(2xy,3,0x.10.无穷级数14/511nnn[A](A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)敛散性不能确定.三、解答题:11~17小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(本题满分7分)计算定积分1230(1)xxdx.解:原式=123201(1)(1)2xdx=1042)1(81x=15812.(本题满分7分)设20061()fxxgx,其中)(xg在1x处连续,且1)1(g,求)1(f.解:1)1()(lim)1('1xfxffx20061(1)()lim1xxgxx200520041(1)(1)()lim1xxxxxgxx200520041lim(1)()xxxxgx200613.(本题满分8分)求抛物线243yxx及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的平面图形的面积.解:24,(0)4,(3)2yxyy在(0,3)处的切线方程为43yx在(3,0)处的切线方程为26yx两条切线的交点为3(,3)2从而所求平面图形的面积可表示为3322230243(43)26(43)Sxxxdxxxxdx7分33222302(69)xdxxxdx9414.(本题满分8分)求微分方程2(6)20yxdyydx的通解.解:原方程可变形为32dxyxdyy则33()2dydyyyyxeedyC233331()()222yyyydyCyCCyy。15.(本题满分8分)计算Dyydxde2,其中D是以)0,0(O,)1,1(A,)1,0(B为顶点的三角形闭区域.解:原式1002yydxedy102dyyey102221dyey10221yde21012ye)1(211e16.(本题满分8分)求二元函数yxyxyxz39422的极值.解:先解方程组241041830zxyxzxyy可得驻点31(,)1010分别求二阶偏导数:222222,4,18zzzxxyy在点31(,)1010处,20,4,18ABC,2200ACB(,)zxy在点31(,)1010处有极小值310.17.(本题满分7分)求微分方程3()0(0)xydyydxy的通解.解:原方程可变形为21dxxydyy则微分方程的通解为112()dydyyyxeyedyC324111()()44yCyydyCyCyyy18.(本题满分7分)设)(xf在],[ba上连续,且xbxadttfdttfxFxf)(1)()(,0)(,)(bxa,证明:(1)2)(xF;(2)方程0)(xF在,ab内有且仅有一个实根。证明:1.依题意有:xfxfxF1210,0xfxfxFxfxf2xF2.因为baabdttfbFdttfaF,1所以.01dttfdttfbFaFbaab由罗尔定理方程至少有一实根。又据1结论知xFxF,0在(a,b)上单调递减。故原方程在(a,b)内有且仅有一个实根。