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有限元分析及应用大作业课程名称:有限元分析及应用班级:姓名:1试题2：图示薄板左边固定，右边受均布压力P=100Kn/m作用，板厚度为0.3cm；试采用如下方案，对其进行有限元分析，并对结果进行比较。1)三节点常应变单元；（2个和200个单元）2)四节点矩形单元；（1个和50个单元）3)八节点等参单元。（1个和20个单元）图2-1薄板结构及受力图一、建模由图2-1可知，此薄板长和宽分别为2m和1.5m，厚度仅为0.3cm，本题所研究问题为平面应力问题。经计算，平板右边受均匀载荷P=33.33MPa，而左边被固定，所以要完全约束个方向的自由度，如图2-2所示。取弹性模量E=2.1×11Pa，泊松比μ=0.3。图2-2数学模型二、第一问三节点常应变单元（2个和200个单元）三节点单元类型为PLANE42，设置好单元类型后，实常数设置板厚为0.3M。采用2个单元的网格划分后的结果如图2-3,200个单元的网格划分图如图2-6所示。约束的施加方式和载荷分布如图2-2中所示。约束右边线上节点全部自由度。计算得到的位移云图分别如图2-4、7所示，应力云图如图2-5、8所示。P=33.33MPa2图2-32个三角形单元的网格划分图3图2-42个三角形单元的位移云图图2-52个三角形单元的应力云图4图2-6200个三角形单元的网格划分图图2-7200个三角形单元的位移云图5图2-8200个三角形单元的应力云图三、第二问四节点矩形单元的计算四节点单元类型为PLANE42，设置好单元类型后，实常数设置板厚为0.3M。采用1个单元的网格划分后的结果如图2-9,50个单元的网格划分图如图2-12所示。约束的施加方式和载荷分布如图2-2中所示。约束右边线上节点全部自由度。计算得到的位移云图分别如图2-10、11所示，应力云图如图2-13、14所示。图2-91个四边形单元的网格划分图6图2-101个四边形单元的位移云图图2-111个四边形单元的应力云图图2-1250个四边形单元的网格划分图7图2-1350个四边形单元的位移云图图2-1450个四边形单元的应力云图8四、第三问八节点等参单元的计算四节点单元类型为PLANE82，设置好单元类型后，实常数设置板厚为0.3M。采用1个单元的网格划分后的结果如图2-15,50个单元的网格划分图如图2-18所示。约束的施加方式和载荷分布如图2-2中所示。约束右边线上节点全部自由度。计算得到的位移云图分别如图2-16、17所示，应力云图如图2-19、20所示。图2-151个八节点等参单元的网格划分图9图2-161个八节点等参单元的位移云图图2-171个八节点等参单元的应力云图10图2-1820个八节点等参单元的网格划分图图2-1920个八节点等参单元的位移云图11图2-2020个八节点等参单元的应力云图四、计算结果对比单元数最大位移(m)最大应力(MPa)最小应力(MPa)三节点常应变单元20.247E-333.628.72000.246E-336.828.8四节点矩形单元10.243E-336.129.6500.244E-337.628.2八节点等参单元10.242E-335.132.7200.244E-343.727.4表2-1计算结果对比对于三节点常应变单元,两种网格划分情况的最大位移,最大应力和最小应力在数值上都差别不是很大,但是应力分布却存在较大的差别。2单元的最大位移位于薄板的右边角附近。而200个单元的最大位移分布在整个右边上。最大应力两单元的位于左边的上角点处，而200单元的位于薄板左边的上下角点处。最小应力2单元的位于左下角处，而200单元的位于左边的中部。2单元网格划分的网格结构也不具有对称性，模型存在较大的误差。对于四节点矩形单元,两种网格划分情况的最大位移,最大应力和最小应力在数值上差别不是很大。两种划分方式下的最大位移都位于薄板的右边。最大应力1单元的位于右边上，而50单元的位于薄板左边的上下角点处。但是最小应力1单元的位于左边上，而50单元的位于左边的中部。另外，应变和应力对于1个单元的从右至左呈均匀分布，而50个单元的却不是均匀分布的。对于八节点矩形单元,两种网格划分情况的最大位移,最小应力在数值上差别不是很大。最大应力却有着些许的不同，这大概是对于高阶的单元更能准确的模拟上下左边角处的应力集中现象。两种划分方式下的最大位移都位于薄板的右边。最大应力1单元的位于右边上，而20单元的位于薄板左边的上下角点处。但是最小应力1单元的位于左边上，而20单元的位于左边的中部。另外，应变和应力对于1个单元的从右至左呈均匀分布，而20个单元的却不是均匀分布的。五、计算命令采用八节点矩形单元的划分20个网格命令流如下：/FILNAME,shiti9/TITLE,ANALYSISOFPLATESTRESS!前处理/PREP7ET,l,plane82MP,EX,1,2.1E11MP,PRXY,1,0.3RECTNG,0,1.5,0,2/PNUM,AREA,1APLOT/TITLE,GEOMETRICMODEL12APLOT/PNUM,KP,1/PNUM,line,1LPLOTlesize,1,,,4lesize,2,,,5lesize,3,,,4lesize,4,,,5!mshape,1amap,1,1,2,3,4/TITLE,ELEMENTSINMODELEPLOTFINISH!求解/SOLUANTYPE,STATIC/PNUM,LINE,1LPLOTLSEL,S,LINE,,4NSLL,S,1D,ALL,allLSEL,S,LINE,,2NSLL,S,1SF,ALL,PRES,-33300000ALLSELOUTPR,BASIC,ALLSOLVEFINISH!后处理/POST1PLDISP,2PLNSOL,U,SUMPLNSOL,S,EQVFINISH!/EXIT13试题3：图示图示为一带圆孔或方孔的单位厚度（0.1M）的正方形平板，在x方向作用均布压力0.25Mpa，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对平板进行有限元分析，并分别就圆孔和方孔结构对以下几种计算方案的计算结果进行比较：1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；3）比较圆孔和方孔孔边应力水平；在Y轴上，圆孔边的应力的精确解为：在X轴上，圆孔边的应力的精确解为：图3-1平板结构及受力图一、建模由图3-1可知，本题所研究问题为平面应力问题，又此平板结构关于图示中X、Y轴对称，可以利用此对称性，取截面的四分之一进行分析计算。此时要约束掉下水平边的Y方向自由度和竖直左边的X方向自由度。载荷为均布压力，平均分布在右边上，大小为0.25MPa。弹性模量E=2.1×11Pa，泊松比μ=0.3.数学模型简图如图3-2所示。图3-2数学模型二、单元数相同类型不同的圆孔板计算结果分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算：本文采用的三节点单元类型为PLANE42，该单元是四节点类型的，但是可以退化为三节点单元。六节点14单元类型选择PLANE82，该单元为八节点四边形单元，但是可以退化为六节点三角形单元。设置好单元类型后，实常数设置板厚为1M。网格设置：对各个line进行网格控制，设置各线1、2、3、4、5的分割份数（Ndiv）分别为20、20、15、40、40。网格划分方式为Tri+free。划分后的网格结果如图3-3。约束的施加方式和载荷分布如图3-2中所示。分别约束线号为4和5上节点的Y和X方向自由度。在线号为1的节点上施加均布压力0.25MPa。经计算，常应变三节点三角形单元的位移云图如图3-4所示，总体应力云图（vonmisesstress）如图3-5所示，局部应力云图如图3-6所示。图3-3三角形单元的网格划分图3-图3-4位移云图15图3-5总体应力云图图3-6孔边周围局部应力云图六节点三角形单元的位移云图如图3-7所示，总体应力云图（vonmisesstress）如16图3-8所示，局部应力云图如图3-9所示。图3-7位移云图图3-8总体应力云图17图3-9孔边周围局部应力云图经分析可知，不同的单元类型计算得来的应力和位移云图分布情况是基本一致的。最大位移在点1处附近，最小位移在点5处附近。最大的应力发生在点5处，最小应力发生在孔边上某段圆弧位置，该位置具体见各图中所示。DMXSMNSMX三节点0.309e-40.396e-50.309e-4-0.6960.259六节点0.309e-40.391e-50.309e-4-0.7730.268理论值-0.750.25表3-1，计算结果对比表由上表3-1可以看出，在单元数目相同的情况，六节点三角形单元的分析精度要高于三节点常应变三角形单元。由此可得出结论，同样的单元形状和大小，高阶单元的计算精度要高于低阶单元。三、不同数量的三节点常应变单元的计算单元类型选择plane42，仅改变单元的分割段数，其他不变。即第一次加密设置各线1、2、3、4、5的分割份数（Ndiv）分别为30、30、20、60、60，第二次加密设置各线1、2、3、4、5的分割份数（Ndiv）分别为40、40、30、80、80。第一次加密后划分后网格为图3-10所示。计算后的位移云图如图3-11所示，应力云图如图3-12所示。第二次加密后划分后网格为图3-13所示。计算后的位移云图如图3-14所示，应力云图如图3-15所示。18图3-10第一次加密后网格划分情况图3-11第一次网格加密后位移云图19图3-12第一次网格加密后应力云图图3-13加密后网格划分情况20图3-14网格加密后位移云图图3-15网格加密后应力云图21DMXSMNSMX不加密0.309e-40.396e-50.309e-4-0.6960.259第一次加密0.309e-40.391e-50.309e-4-0.7250.269第二次加密0.309e-40.395e-50.309e-4-0.7790.266理论值-0.750.25表2不同密度的网格计算结果对比表由上表可知，虽然常应变三角形单元的计算结果没有高阶单元的计算结果精确，但是随着单元数目的增多，计算结果逐渐的接近高阶单元的计算结果。但是随着单元数量的增加，其计算的时间也会相应的增加。三、方孔和圆孔的应力水平比较为了使结果具有对比性，采用相同的单元类型plane82，并采用全局网格控制，大小为0.2。圆孔的计算结果如图3-16,17所示。方孔的计算结果如图3-18,19所示。圆孔的最大应力分布在圆孔与Y轴的交点附近，其大小为0.776MPa，而方孔的最大应力分布在四个角处，其大小为0.956MPa，方孔的最大应力要比圆孔的大。并且圆孔边周围的应力变化比较缓慢，而方孔变化剧烈。这些因数直接造成方孔板的安全系数没有圆孔板的大，比圆孔板易遭到破坏。图3-16圆孔板的应力云图22图3-17圆孔边的应力云图图3-17方孔的应力云图23图3-17方孔边的应力云图三、总结由以上的分析可以知道，在有限元分析当中，采用不同的单元（包括类型和数量），会得到不同的计算结果。相同的数量下，高阶单元的计算结果要比低阶单元的精确度高。相同的单元类型，单元的数量越多，得到的计算结果会越逼近精确值，但是计算的时间也会相应的增加。要做好有限元分析，得到需要精度的计算结果，必须得准确选择与实际力学模型相对应的单元类型，并要结合时间和硬件条件划分适合的网格数量。通过对圆孔板和方孔板的计算结果的比较可知，在相同的边界条件和相同尺度的孔下，圆孔板的最大应力要小于方孔板的最大应力，方孔板在四角处的应力集中情况相当严重。在工程设计中，要避免这样的设计。四、附录圆孔板的单元为PLANE42，各线1、2、3、4、5的分割份数（Ndiv）分别为20、20、15、40、40的计算命令流：/FILNAME,shiti3/TITLE,ANALYSISOFPLATESTRESSWITHSMALLCIRCLE/PREP7ET,l,PLANE42MP,EX,1,2.1E11M