§2.2.2-椭圆的简单几何性质(1)

§2.2.2椭圆的简单几何性质（1）X1.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:c2=a2-b2121222||||(||)MFMFaaFF当焦点在x轴上时当焦点在y轴上时222210()xyabab222210()yxabab1.椭圆的范围即-a≤x≤a,-b≤y≤byB1oB2A1A2F1F2椭圆落在x=±a,y=±b所围成的矩形中椭圆简单的几何性质由11122222222byaxbyax和2.椭圆的对称性YXOP（x，y）P3（-x，-y）P1（-x，y）P2（x，-y）)0(12222babyax从图形上看:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。3.椭圆的顶点oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)令y=0，得x=？，说明椭圆与x轴的交点？令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点？*顶点坐标:(-a,0)(a,0)(-b,0)(b,0)*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。)0(12222babyax?,,,,.画椭圆的扁平程度呢用什么量可以刻那么椭圆的扁平程度不一我们发现图观察不同的椭圆思考912912.图(刻画椭圆扁平程度的量)ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：0e11）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆[3]e与a,b的关系:222221ababaace思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？4.椭圆的离心率标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceac2=a2-b222221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前已知椭圆方程为16x2+25y2=400,它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是：。离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。108635(3,0)(5,0)(0,4)80解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b2212516xy2、确定焦点的位置和长轴的位置例1已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是：.离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。262)5,0(52630(0,6)(1,0)4616122yx其标准方程是51622bacba则及时反馈练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为。3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为。4、已知椭圆的离心率为1/2，则m=.221/34或－5/41/2例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。22194xy解：⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量22110064xy⑵22110064yx或课后作业：《金榜》素能综合检测（12）1.椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。2.了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系.,,.||,.||,.,.,,.)(,.所在的椭圆方程求截口已知集中到另一个焦点经过旋转椭圆面反射后发出的光线一个焦点由椭圆上片门位于另一个焦点上一个焦点灯丝位于椭圆是椭圆的一部分称轴的截口过对的一部分的曲面其对称轴旋转一周形成椭圆绕是旋转椭圆面电影放映灯泡的反射镜一种如图例BACcmFFcmBFFFBCFFFFBAC548211125211212121xy2F1FABCDEO透明窗反射镜面xy2F1FABCDEO透明窗反射镜面1112.图.,示椭圆镜面工作原理演操作打开的几何画板.,.111122222byax圆方程为设所求椭的直角坐标系所示建立图解...||||||,22221212215482FFBFBFFBFRt中在所以由椭圆的性质知,||||,aBFBF221;....)||||(1454828221212221BFBFa....43252142222cabxy2F1FABCDEO透明窗反射镜面1112.图...,143142222yx所求的椭圆方程为所以252:(,)(4,0):44,.5MxyFlxM例点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数求点的轨迹1925610,1925,225259,.54425)4(},54{,,425::22222222yxxMyxyxxyxdMFMPMxlMd的椭圆，其轨迹方程是、为轴，长轴、短轴长分别的轨迹是焦点在点所以即并化简得将上式两边平方由此得迹就是集合的轨点根据题意的距离到直线是点设解Hd的距离和它到定直线，与定点若点)0(),(cFyxM思考上面探究问题，并回答下列问题：的距离和它到定直线，与定点）若点（)0(),(3cFyxM的，此时点的距离的比是常数Mcaaccaxl)0(:2？轨迹还是同一个椭圆吗时，对应，定直线改为，）当定点改为（caylcF2:)0(4？的轨迹方程又是怎样呢探究：的轨迹。，求点的距离的比是常数Mcaaccaxl)0(:2（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。定义1图形定义2平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(eace的点的轨迹。)0,()0,(21cFcF、焦点：),0(),0(21cFcF、焦点：cax2准线：cay2准线：、两个定点1F的距离的和2F等于常数（大）的点于21FF的轨迹。平面内与.,:,,的轨迹求点是常数的距离的比线的距离和它到直与定点点例MxlFyxM54425046的轨迹就是集合点根据题意的距离到直线是点设解MxlMd,,:425xyOFMHdl1212.图.,的轨迹形成过程点观赏操作打开的几何画板M.54425422xyx由此得.,,,19252252592222yxyx即得并化简将上式两边平方..,1212610图的椭圆、分别为的轨迹是长轴、短轴长点所以MxyOFMHdl1212.图.|||54dMFMP