3-非稳态热传导3

高等传热学非稳态热传导(三)格林函数法在非稳态导热中的应用影响物体中的温度变化的因素内热源边界的热作用初始温度分布广义热源从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为“瞬时”作用的热源。格林函数法在非稳态导热中的应用从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为“瞬时”作用的热源。热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为“点热源”、“线热源”和“面热源”。“瞬时点热源”：瞬时作用于某个点的热源各种热源都可以看作是许多瞬时点热源的集合，即把空间中连续分布的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源；把时间上持续的热源看成是许多前后相继的瞬时热源。格林函数法在非稳态导热中的应用非稳态导热问题求解思路：各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场的叠加得到，数学上即成为某种积分，这就是热源法，或称格林函数法。在特定几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格林（Green）函数采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程格林函数法在非稳态导热中的应用“瞬时”和“点”源的概念在数学上都可以用狄拉克（Dirac）δ分布函数，简称δ函数，单位脉冲函数来表示。各函数的定义为:δ函数具有以下性质：0,(),xbxbxb0()1xbdx()()()fxxbdxfb格林函数法在非稳态导热中的应用空间变量的三维δ函数在直角坐标系中等同于三个坐标变量的δ函数的乘积，即()()()xxyyzz时刻作用在空间某一点r强度在数量上等于ρc[J]的瞬时点热源可写作()()vqcrr()rr()()()()cxxyyzz=格林函数法在非稳态导热中的应用其中自变量的第一部分表示该温度分布是空间坐标r和时间τ的函数，第二部分表示瞬时点热源的位置和释放的时间。格林函数所对应的瞬时点热源的强度规定为ρc[J/(m3·℃)]×1m3×1℃=ρc[J],也就是使单位体积的介质温度升高1℃所需的热量。在特定几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格林（Green）函数:(,;,)Grr格林函数法在非稳态导热中的应用初始温度分布F(r)在微元体积dV中所对应的热量等于ρcF(r)dV，因此它就等价于一个在τ＝0时刻的瞬时分布热源qv(r，τ)＝ρcF(r)δ（τ－0）大平壁中的非稳态导热设一维平壁有初始温度分布F（x）对和内热源qv(x，τ)＝ρcg(x,τ)，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流f(τ)的作用。该问题的数学描述为22(,),0,0(),0,0()0,00,,0ttagxxLxtFxxLtfxxtxLx大平壁中的非稳态导热首先考察该导热系统的辅助问题：瞬时点热源引起的温度分布，即格林函数G，它满足以下条件：22()(),0,00,0,000,00,,0GGaxxxLxGxLGxxGxLx大平壁中的非稳态导热时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应仍维持为0，而时刻的瞬时热源的作用等同于时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为22,0,0(),0,0,0,00,,0GGaxLxGxxxLGxxGxLx大平壁中的非稳态导热用分离变量法得到的满足以上方程和边界条件的解的一般形式为22021()(,;,)(,)exp[]cosmmmamxGxxAAxLL系数可以由时的“初始”条件确定，即(,)mAx01(,)cos()mmmxAAxxxL把展开成傅里叶余弦级数并比较两边的系数，得到()xx012,(,)cosmmxAAxLLL，m=l，2，…大平壁中的非稳态导热即格林函数为222112()(,;,)expcoscosmmamxmxGxxLLLLL将所有的瞬时点热源产生的温度分布（格林函数）叠加，就能获得原导热问题的解。大平壁中的非稳态导热在τ时刻内热源引起的温度分布tl应为在此前所有的瞬时点热源,的作用的叠加10022200001(,)(,)(,;,)12()(,)cos(,)expcosLLLmtxdgxGxxdxmxmamxdgxdxdgxdxLLLLL(,)()()cgxxxdxd内热源：大平壁中的非稳态导热初始温度分布F(x)的影响可以看作是在时刻，在各微元体积有瞬时热源的作用。因此，由初始温度分布引起的温度分布t2，初始温度分布：01dVdx()()(0)cFxxxdx20222001(,)()(,;,0)12()expcos()cosLLLmtxFxGxxdxmamxmxFxdxFxdxLLLLL大平壁中的非稳态导热边界热流f(τ)的影响可以看作是在时间序列上一系列的瞬时热源的作用。因此由边界热流作用而引起的温度分布t3应为边界热流：()(0)()fxd302220011(,)()(,;0,)12()()cos()expmtxfGxxdcmxmafdfdcLcLLL大平壁中的非稳态导热总的热源=内热源+初始温度分布+边界热流：11230000(,)()(,)()(,;,0)1()(,;0,)LLtxtttfdgxdxFxGxxdxfGxxdc无限大物体中的非稳态导热根据其定义，一维无限大介质中的格林函数应满足以下定解问题：22()(),,0,,0,GGaxxxxGxGxx或等价于以下齐次的问题：22,,(),,0,GGaxxGxxxGxx无限大物体中的非稳态导热用分离变量法可以求得一维无限大介质中的格林函数，即瞬时平面热源在初始温度分布为零的无限大介质中引起的温度分布是容易证明以上函数满足齐次导热方程和边界条件。这一温度分布函数示于右图所示。21()(,;,)exp4()4()xxGxxa无限大物体中的瞬时面热源及其产生的温度场无限大物体中的非稳态导热注意到，任一时刻曲线以下的面积与体积热容量的乘积就是物体总内能的增加。由于系统与外界没有传热，这一总能量应不随时间变化，并等于脉冲加热的热量，即2201()2()expexp()4()4()xxQcdxcuduca另一方面，给出的初始温度分布和狄拉克δ分布函数的性质可得初始时刻输入的热量为()Qcdxc由此可知，给出的格林函数也满足初始条件，即瞬时面热源加热的条件。无限大物体中的非稳态导热得到了格林函数后，就可以直接写出带有热源和非均匀初始温度的一维无限大介质中的导热问题的解。问题的数学描述为22(,),,0(),,0,,0ttagxxxtFxxtxx其解为20220(,)()(,;,0)()(,)(,;,)exp()41()exp()441()exp(,)4()4()txFxGxxdxxxdgxGxxFxdxaxxFxdxaaxxdgxdxaa无限大物体中的非稳态导热作为一个特例，考察由随时间变化的平面热源引起的温度场。物体的初始温度为零，当时间τ0时在x=0处有一个强度为qs(τ)的平面热源持续地释放热量。这样，相当于在上式中有其解为()()0,(,)(0)sqFxgxxc2011(,)exp()4()4()xtxqsdcaa对于qs是常量的情况，可以作变量置换并分部积分，可得/4()uxa21(,)exp()e()e()4222ssqqxxxxtxarfcairfcaaaa无限大物体中的非稳态导热考虑到该温度分布的对称性，它就相当于边界有恒定热流的半无限大物体的温度分布，即等同于式21(,)exp()e()e()4222ssqqxxxxtxarfcairfcaaaa/2wsqq无限大物体中的非稳态导热再考察一个的例子。用熔融的钢水注入两根长钢轨之间预留的空隙使之焊接为一体。假设不考虑由于相变引起的潜热和物性变化等复杂因素，且忽略钢轨表面的散热，则该问题可简化为无限大物体中的一维导热。取空隙的中心平面为坐标原点，初始温度分布可简化为0,,00,,0ttxbtxb温度分布如图所示，两根长钢轨在熔焊时的温度分布无限大物体中的非稳态导热考虑到该温度分布的对称性，它就相当于边界有恒定热流的半无限大物体的温度分布，即等同于式21(,)exp()e()e()4222ssqqxxxxtxarfcairfcaaaa无限大物体中的非稳态导热可直接写出该问题的温度分布。因为没有内热源，有2201()()(,)exp()exp4444bbtxxxxtxFxdxdxaaaa作变量置换，得到()/(2)uxxa0(,)()222tbxbxtxerferfaa一般空间域中的格林函数法以下进一步简要介绍用格林函数法求解一般的非稳态导热问题的思路及其结论。对于一般的非稳态线性导热问题，其数学描述可写作2(,)(,)(,),,0(,)(,)(,),,0(,)(),,0iiiitratrgrrRtrhrfrrStrFrrR一般空间域中的格林函数法为求解这一非齐次导热问题，先考虑一个辅助问题，求由瞬时点热源在相应的齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布，即求格林函数G。相应的数学描述为()()crr2(,;,)(,;,)()(),,0GrraGrrrrrR(,;,)(,;,)0,,0iiiiGrrhGrrrSn(,;,)0,,GrrrR如果得到了以上问题的解，即该特定导热系统的格林函数G，则原问题的解可写作00(,)()(,;,0)(,)(,;,)1(,)(,;,)iRrissiSiitrFrGxxdVgrGxxddVafrrGrrrddS