第7章线性时不变系统的复频域综合

7.1极点配置问题状态反馈的复频域综合7.2极点配置问题的观测器-控制器形补偿器的综合7.3输出反馈极点配置问题的补偿器的综合第7章线性时不变系统的复频域综合7.1极点配置问题状态反馈的复频域综合一状态反馈特性的复频域分析考虑线性时不变状态反馈系统如图所示lcN)()(1sSslchcDD1)(ˆsylcN)()(1sSslchcDD1)(ˆsy()Ns1D()s()Ksˆ()s)(ˆsu)(ˆsyˆ()s1状态反馈系统的传递函数矩阵线性时不变状态反馈系统闭环传递函数阵的右MFD为：1KK()()()GsNsDs闭环分母矩阵为：KD()()()()hcLcsDSsDKs11()()()()()(),phclclckpiikDsDSsDsNsNssSskns11)(111ssssspkk2状态反馈对分子矩阵N(s)的影响K3状态反馈对分母矩阵D(s)的影响不改变分母矩阵D(s)的列次数。不改变分母矩阵D(s)的列次系数阵。可改变分母矩阵D(s)的低次系数阵。线性时不变状态反馈系统，反馈矩阵K的引入对分子矩阵N(s)没有直接影响。线性时不变状态反馈系统，反馈矩阵K的引入对分母矩阵D(s)的影响为：K4包含输入变换的状态反馈系统如图所示lcNlchcDD1)(ˆsylcNlchcDD1)(ˆsy()Ns()Ksˆ()s)(ˆsu)(ˆsyˆ()s1D()sH其中：H为p×p的非奇异输入变换阵(1)包含输入变换的状态反馈系统的传递函数矩阵包含输入变换的线性时不变状态反馈系统闭环传递函数阵的右MFD为：1HKHK()()()GsNsDs闭环分母矩阵为：1HK11D()[H()()]()()()hcLcsDsKsHDSsHDKs(2)包含输入变换的状态反馈系统的功能可同时改变分母矩阵的列次系数阵和低次系数阵。1问题的提法给定开环系统的传递函数阵，D(s)列既约。表为列次数，设任意给定n个期望极点，二极点配置的复频域综合确定输入变换阵H和状态反馈阵K，使成立)s(D)s(N)s(G10)s(Dkciink,kkkp1iip21*n*2*1,,,)s()s(*n1i*i1HKHK*HKG(s,K)N(s)D(s)detD(s)(s)2极点配置的基本结论对包含输入变换的线性时不变状态反馈系统，受控系统由严真不可简约右MFD表征，若取期望特征多项式表示为1N(s)D(s))s(s)s(s)s(s)s(s)s(p)kk(n1-p)kk(n2kn1n*1-p1211hcDH1p1(s)(s)-10K(s)()-10hclcDDs则状态反馈系统可实现期望极点配置2算法步骤第1步：对给定D(s),求出第2步：将进一步表示为：1hclchcD)s(,D,D和)s(*)s(s)s(s)s(s)s(s)s(p)kk(n1-p)kk(n2kn1n*1-p1211第3步：取hcDH01-01-)s()s((s)p1构造)s(DD-(s)(s)Klc-1hchcDH01-01-)s()s((s)p1第4步：令于是，可求出：22211211kkp21kHKDDDDs1-01-0s1-)s()s()s(s(s)S(s)(s)Dp21)s()s(detD*HKp21lc1-hcp21D,,D,DDDK,,K,KKiiiikpDkpKii1k1k1ii()ss1KD,i1,,p0ss110s其中7.2极点配置问题的观测器-控制器形补偿器的综合一问题的提法构造补偿器，使满足1CFCF-1*fhcCFG(s)N(s)D(s)(detD)detD(s)(s)给定线性时不变受控系统,由严真传递函数矩阵表征，D(s)列既约。1G(s)N(s)D(s),不可简约*n*2*1,,,)s()s(*n1i*ipjcjjj1k=D(),kns任意给定n个期望极点，期望闭环特征多项式为:1闭环控制系统满足期望极点配置2补偿器满足物理可实现性二观测器-控制器型反馈极点配置的原理性综合1期望闭环分母矩阵*CF()Ds给定期望极点,则期望特征多项式为：1112()()*12()()()()pnkknknkknpssssssss1212*CF()()()101D()1pkpkksssssss则期望闭环分母矩阵为:*CF()Ds**()jjcjCFkkDs**fhc()CFnDsDI的列次系数阵2状态反馈阵M(s)给定线性时不变受控系统不可简约严真右MFD，D(s)列既约,如图所示。1G(s)N(s)D(s)lcN)()(1sSslchcDD1)(ˆsylcN)()(1sSslchcDD1)(ˆsy()Ns1D()sM()sˆ()s)(ˆsu)(ˆsyˆ()s取p×p状态反馈阵M(s)为：*CF()()()MsDsDs则可使对应状态反馈系统实现任意期望闭环极点组的配置。三观测器-控制器型反馈极点配置的可实现性综合1物理可实现输出输入反馈系统CF按期望极点配置综合导出的状态反馈系统，其控制功能等价的结构物理可实现输出输入反馈系统如图所示。CFK)()(1sSs)(ˆsy)()(1sSs()()MsXs)(ˆsy1N(s)D()sM()()sYs)(ˆsuˆ()s+++ˆ()()Mss输出输入反馈系统结构图CF2以形式MFD表征补偿器对上述得到的线性时不变输出输入反馈系统，引入p×p待定可逆矩阵T(s),CF()()()(),()()()()FsTsMsXsHsTsMsYs)()(1sSs)(ˆsy)()(1sSs1()()TsFs)(ˆsy1N(s)D()s1()()TsHs)(ˆsuˆ()s+++ˆ()()Mss则在控制功能等价前提下，导出以下输出输入反馈系统CF以形式MFD表征补偿器的输出输入反馈系统CF3以真正MFD表征补偿器对上述得到的线性时不变输出输入反馈系统，CF1()()()()LNsDssNs-1L不可简约不可简约D)()(1sSs)(ˆsy)()(1sSs1()()uTsNs)(ˆsy1N(s)D()s1()()yTsNs)(ˆsuˆ()s+++引入：()()()(),()()()()LyuLHsLsDsNsNsFsLsNs以真正MFD表征补偿器的输出输入反馈系统CF则：4构造真MFD表征的补偿器对按期望极点配置得到的以真正MFD表征补偿器的线性时不变输出输入反馈系统，表示CF1()()()()NsDssNs-1L不可简约不可简约D观测器的期望极点rjr1rq()()1,2,,max(),,()LLLLDsqqDsjqDsDs分母矩阵行次数，***12(1){,,,}psss(1)*(1)(1)1T(1)1101(1)(1)1(1)2(1)121()()()()()()ppprprpppppssssssssssssss期望特征多项式为：若取11121()1()()1()pssssTsss11(1)()()(2)()(),()yuTsNsMFDTsNsMFDs-1K为真为真当且仅当D(s)D为正则真则有：四综合观测器-控制器型补偿器的算法1CFCF-1*fhcCFG(s)N(s)D(s)(detD)detD(s)(s)第1步：对给定的严真开环传递函数矩阵，不可简约MFD为：D(s)列既约，行既约。第2步：定出满足综合指标的闭环传递函数阵，即成立第3步：计算p×p多项式矩阵)s(N)s(D)s(D)s(N)s(GL-1L1)s(DL)s(D)s(N)s(G1CFF)s(D)s(D)s(MCF第4步：定出使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I的p×p和p×q的多项式矩阵X(s)和Y(s).第5步：选取T(s)其中：可任取，但需使detT(s)=0的根均具有负实部。第6步：计算F(s)=T(s)M(s)X(s)和H(s)=T(s)M(s)Y(s)，运用矩阵除法求出满足的矩阵对，计算11121()1()()1()pssssTsss)s(i)s(N)s(L(s)DH(s)yL)}s(NL(s),{y)s(L(s)N)s(F(s)NLu第7步：计算，则补偿器的传递特性)s(T1)s(N)s(T)s(N)s(Ty1u1和(13.3)给定线性时不变受控系统试综合一个状态反馈阵K,使得状态反馈控制系统的极点配置为123222211210()2221421sssssGsssssss***12,342,1,42jj(13.4)：对上题中的受控系统和期望极点,试确定实现极点配置的一个”观测器-控制器型”补偿器7.3输出反馈极点配置问题的补偿器的综合一问题的提法给定线性时不变受控系统,由真或严真传递函数矩阵表征，D(s)列既约,行既约,1-1LLG(s)N(s)D(s)=D(s)N(s),不可简约jcjririLpqjrij1i1k=D(),k=D()k=knss采用如图所示的具有补偿器的单位输出反馈结构:)s(DLˆ(s)yˆ(s)uC()s()Gsˆv(s)C(s)为补偿器传递函数阵，阶数为m构造补偿器，使满足***12,,,nm其中任意给定一组期望闭环极点1实现期望的极点配置2补偿器满足物理可实现性二传递函数矩阵的循环性1G(s)的特征多项式和最小多项式G(s)的特征多项式△(s)=G(s)所有1阶、2阶、…、min{q,p}阶子式最小公分母G(s)的最小多项式φ(s)=G(s)所有1阶子式最小公分母其中：△(s)=b(s)φ(s)b(s)为标量多项式2循环传递函数矩阵G()()(),ssksk循环为非零常数3循环有理分式矩阵的性质若真或严真G(s)为1×p或q×1有理分式阵，则G(s)为循环给定q×p的G(s)，表和为其任意两个元有理分式，则当不存在一个λ是它们的公共极点时，G(s)必是循环的。(注：该条件只是充分条件）设G(s)为q×p的循环真有理分式阵，则对几乎所有的p×1实常数向量和1×q的实常数向量，存在非零常数和使成立)s(gij)s(g1t2t1k2k)]s(Gt[k]t)s(G[k[G(s)]2211设G(s)为q×p的非循环真有理分式阵，构成如图所示的输出反馈系统。闭环有理分式阵为：11)]s(KGI)[s(G)s(G]K)s(GI[(s)G则对几乎所有任意取定的常阵K，必是循环有理分式矩阵。)s(G()Gsˆ(s)uˆv(s)K)s(yˆ三输出反馈极点配置补偿器的综合：循环G(s)情形1补偿器的组成方案设G(s)为q×p的循环真或严真传递函数阵，选定p×1实常数向量和1×q的实常数向量，使成立输出反馈系统中的补偿器如图所示C()s()Gsˆv(s)1t)s(yˆ2t()Gsˆv(s)C(s