搜索
中考数学专项突破——含参二次函数类型一函数类型确定型1.已知抛物线y＝3ax2＋2bx＋c.(1)若a＝3k，b＝5k，c＝k＋1，试说明此类函数图象都具有的性质；(2)若a＝13，c＝2＋b，且抛物线在－2≤x≤2区间上的最小值是－3，求b的值；(3)若a＋b＋c＝1，是否存在实数x，使得相应的y值为1，请说明理由．解：(1)∵a＝3k，b＝5k，c＝k＋1，∴抛物线y＝3ax2＋2bx＋c可化为y＝9kx2＋10kx＋k＋1＝(9x2＋10x＋1)k＋1，∴令9x2＋10x＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝－19，∴图象必过点(－1，1)，(－19，1)，∴对称轴为直线x＝－10k2×9k＝－59；(2)∵a＝13，c＝2＋b，∴抛物线y＝3ax2＋2bx＋c可化为y＝x2＋2bx＋2＋b，∴对称轴为直线x＝－2b2＝－b，当－b＞2时，即b＜－2，∴x＝2时，y取到最小值为－3.∴4＋4b＋2＋b＝－3，解得b＝－95(不符合题意，舍去)，当－b＜－2时即b＞2，∴x＝－2时，y取到最小值为－3.∴4－4b＋2＋b＝－3，解得b＝3；当－2＜－b＜2时，即－2＜b＜2，当x＝－b时，y取到最小值为－3，∴4（2＋b）－4b24＝－3，解得b1＝1＋212(不符合题意，舍去)，b2＝1－212，综上所述，b＝3或1－212；(3)存在．理由如下：∵a＋b＋c＝1，∴c－1＝－a－b，令y＝1，则3ax2＋2bx＋c＝1.∴Δ＝4b2－4(3a)(c－1)＝4b2＋4(3a)(a＋b)＝9a2＋12ab＋4b2＋3a2＝(3a＋2b)2＋3a2，∵a≠0，∴(3a＋2b)2＋3a2＞0，∴Δ＞0，∴必存在实数x，使得相应的y值为1.2.在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别相交于A(－3，0)、B(0，－3)两点，二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)若二次函数y＝x2＋mx＋n的图象顶点在直线AB上，求m，n的值；(3)①设m＝－2，当－3≤x≤0时，求二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值；②若当－3≤x≤0时，二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值为－4，求m，n的值．解：(1)将点A(－3，0)，B(0，－3)代入y＝kx＋b得－3k＋b＝0b＝－3，解得k＝－1b＝－3.∴一次函数y＝kx＋b的表达式为y＝－x－3；(2)二次函数y＝x2＋mx＋n的图象顶点坐标为(－m2，4n－m24)，∵顶点在直线AB上，∴4n－m24＝m2－3，又∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A(－3，0)，∴9－3m＋n＝0，∴组成方程组为4n－m24＝m2－39－3m＋n＝0，解得m＝4n＝3或m＝6n＝9；(3)①当m＝－2时，由(2)得9－3m＋n＝0，解得n＝－15，∴y＝x2－2x－15.∵二次函数对称轴为直线x＝1，在－3≤x≤0右侧，∴当x＝0时，y取得最小值是－15.②∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A，∴9－3m＋n＝0，二次函数y＝x2＋mx＋n的对称轴为直线x＝－m2，i)如解图①，当对称轴－3＜－m2＜0时，最小值为4n－m24＝－4，联立4n－m24＝－49－3m＋n＝0，解得m＝2n＝－3或m＝10n＝21(由－3＜－m2＜0知不符合题意舍去)∴m＝2n＝－3；ii)如解图②，当对称轴－m2＞0时，∵－3≤x≤0，∴当x＝0时，y有最小值为－4，把(0，－4)代入y＝x2＋mx＋n，得n＝－4，把n＝－4代入9－3m＋n＝0，得m＝53.∵－m2＞0，∴m＜0，∴此种情况不成立；iii)当对称轴－m2＝0时，y＝x2＋mx＋n当x＝0时，取得最小值为－4，把(0，－4)代入y＝x2＋mx＋n得n＝－4，把n＝－4代入9－3m＋n＝0，得m＝53.∵－m2＝0，∴m＝0，∴此种情况不成立；iiii)当对称轴－m2≤－3时，∵－3≤x≤0，∴当x＝－3时，y取得最小值－4，∵当x＝－3时，y＝0，不成立．综上所述，m＝2，n＝－3.第2题解图3.在平面直角坐标系中，二次函数y1＝x2＋2(k－2)x＋k2－4k＋5.(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数y2＝kx＋3经过y1图象的顶点，求函数y1的表达式；(3)当1≤x≤3时，二次函数的最小值是2，求k的值．(1)证明：∵b2－4ac＝4(k－2)2－4(k2－4k＋5)＝－40，∴函数图象与x轴没有交点，当x＝0时，y1＝k2－4k＋5＝(k－2)2＋10，∴二次函数与坐标轴仅有一个交点；(2)解：∵y1＝(x＋k－2)2＋1，∴函数y1的顶点坐标为(2－k，1)，代入函数y2＝kx＋3得(2－k)k＋3＝1，解得k＝1＋3或k＝1－3，∴y1＝x2＋2(3－1)x＋5－23或y1＝x2－2(3＋1)x＋5＋23；(3)解：①当对称轴x＝－b2a＝2－k≤1时，k≥1，当x＝1时，y1取得最小值2，即1＋2(k－2)＋k2－4k＋5＝2，解得k＝0(舍去)或k＝2；②当对称轴12－k3时，－1k1，当x＝2－k时，最小值恒为1，无解；③当对称轴x＝2－k≥3时，k≤－1，当x＝3时，y1取得最小值2，即9＋6(k－2)＋k2－4k＋5＝2，化简得k2＋2k＝0，解得k＝0(舍去)或k＝－2.综上所述，k的值为2或－2.4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(1，1)、B(2，4)和C三点．(1)用含a的代数式分别表示b、c；(2)设抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(p，q)，用含a的代数式分别表示p、q；(3)当a＞0时，求证：p＜32，q≤1.(1)解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(1，1)、B(2，4)两点，∴1＝a＋b＋c4＝4a＋2b＋c，化解得3＝3a＋b，∴b＝3－3a，∴1＝a＋3－3a＋c，∴c＝2a－2；(2)解：由(1)得b＝3－3a，c＝2a－2，∴p＝－b2a＝3a－32a；∴q＝4a（2a－2）－（3－3a）24a＝－a2＋10a－94a；(3)证明：∵a＞0，∴－32a＜0，∴p＝3a－32a＝32－32a＜32；∵－（a－3）24a≤0，∴q＝－a2＋6a－94a＋4a4a＝－（a－3）24a＋1≤1.5.已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)过点A(1，0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限．(1)用含a、c的代数式表示b；(2)判断点B所在象限，并说明理由；(3)若直线y2＝2x＋m经过点B，且与该抛物线交于另一点C(ca，b＋8)，求当x≥1时，y1的取值范围．解：(1)∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)经过点A(1，0)，把点A(1，0)代入即可得到a＋b＋c＝0，即b＝－a－c；(2)点B在第四象限．理由如下：∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)过点A(1，0)，∴抛物线y1与x轴至少有1个交点，令ax2＋bx＋c＝0，∴x1·x2＝ca，∴x1＝1，x2＝ca，∵a≠c，∴抛物线与x轴有两个不同的交点，又∵抛物线不经过第三象限，∴a＞0，且顶点B在第四象限；(3)∵点C(ca，b＋8)在抛物线上，令b＋8＝0，得b＝－8，由(1)得a＋c＝－b，∴a＋c＝8，把B(－b2a，4ac－b24a)、C(ca，b＋8)两点代入直线解析式得4ac－b24a＝2×（－b2a）＋mb＋8＝2×ca＋ma＋c＝8，解得a＝2b＝－8c＝6m＝－6或a＝4b＝－8c＝4m＝－2(a≠c，舍去)，如解图所示，C在A的右侧，∴当x≥1时，y1≥4ac－b24a＝－2.第5题解图6.在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2＋2ax＋3(a≠0)．(1)若函数y1的图象经过点(－1，4)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝bx＋a(b≠0)的图象经过y1图象的顶点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(1，m)和Q(x0，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x0的取值范围．解：(1)∵二次函数y1＝ax2＋2ax＋3的图象经过点(－1，4)，∴4＝a－2a＋3，∴a＝－1，∴函数y1的表达式为y1＝－x2－2x＋3；(2)∵y1＝ax2＋2ax＋3＝a(x＋1)2＋3－a，∴y1图象的顶点坐标为(－1，3－a)．∵一次函数y2＝bx＋a(b≠0)的图象经过y1图象的顶点，∴3－a＝－b＋a，∴实数a、b满足的关系式为b＝2a－3；(3)∵二次函数y1＝ax2＋2ax＋3的图象的对称轴为直线x＝－2a2a＝－1，∴当m＝n时，x0＝－3.当a＞0时，如解图①所示，第6题解图∵m＞n，∴－3＜x0＜1；当a＜0时，如解图②所示，∵m＞0，∴x0＜－3或x0＞1.综上所述：x0的取值范围为－3＜x0＜1（a＞0）x0＜－3或x0＞1（a＜0）.类型二函数类型不确定型1.已知函数y＝(n＋1)xm＋mx＋1－n(m，n为实数)．(1)当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设n＞－1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m＝1，n≠－2时，函数y＝(n＋1)xm＋mx＋1－n(m，n为实数)是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，(n＋1)xm＋mx＋1－n＝0，∴x＝n－1n＋2，∴函数y＝(n＋1)xm＋mx＋1－n(m，n为实数)与x轴有交点；②当m＝2，n≠－1时，函数y＝(n＋1)xm＋mx＋1－n(m，n为实数)是二次函数，当y＝0时，(n＋1)xm＋mx＋1－n＝0，即(n＋1)x2＋2x＋1－n＝0，∴Δ＝22－4(n＋1)(1－n)＝4n2≥0，∴函数y＝(n＋1)xm＋mx＋1－n(m，n为实数)与x轴有交点；③当n＝－1，m≠0时，函数y＝(n＋1)xm＋mx＋1－n是一次函数，当y＝0时，x＝n－1m，∴函数y＝(n＋1)xm＋mx＋1－n(m，n为实数)与x轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝(n＋1)x2＋2x＋1－n，∵n＞－1，∴n＋1＞0，抛物线开口向上，对称轴：x＝－b2a＝－22（n＋1）＝－1n＋1＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，故为假命题；②它一定过点(1，4)和(－1，0)，理由如下：当x＝1时，y＝n＋1＋2＋1－n＝4.当x＝－1时，y＝0.∴它一定经过点(1，4)和(－1，0)．2.设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围．第2题图解：(1)令k＝0，k＝1，则这两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，描点法画函数图象如解图所示；第2题解图(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x轴至少有1个交点．证明：①∵当x＝0时，y＝1；当x＝－2时，y＝－1.∴函数图象必过(0，1)，(－2，－1)；②∵当k＝0时，函数为一次函数，∴y＝x＋1的图象是一条直线，且与x轴有一个交点；∵当k≠0时，函数为二次函数，y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象是一条抛物线．Δ＝(2k＋1)2－4×k×1＝4k2＋4k＋1－4k＝4k2＋1＞0，∴抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋1与x轴有两个交点．综上所述，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)与x轴至少有一个交点；(3)∵k＜0，∴函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象在对称轴直