第8章-传递函数矩阵的矩阵分式描述

第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述8.1矩阵分式描述8.2矩阵分式描述的真性和严真性8.3由非真矩阵分式描述中导出严格真矩阵分式描述8.4不可简约矩阵分式描述8.5确定不可简约矩阵分式描述的算法8.6规范矩阵分式描述第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述8.1矩阵分式描述（MFD）右MFD和左MFD（Matrix－FractionDescription）给定qp(q为输出，p为输入)的具有有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)，则一定存在q×p和p×p的多项式矩阵N(s)和D(s)，以及q×q和q×p的的多项式矩阵A(s)和B(s)，成立：G(s)=N(s)D-1(s)和G(s)=A-1(s)B(s)称N(s)D-1(s)为G(s)的一个右MFD，称A-1(s)B(s)为G(s)的一个左MFD。找列最小公分母可定出右MFD，找行最小公分母可定出左MFD。（见例题P.442)MFD的特性：①规定右MFD的次数＝degdetD(s)规定左MFD的次数＝degdetA(s)对给定的G(s)，右MFD和左MFD不是唯一的，不同的MFD有不同的次数。③若N(s)D-1(s)为G(s)的一个右MFD，W(s)为任一相应维数的非奇异多项式矩阵，并定义:N(S)=N(s)W-1(S),D(S)=D(S)W-1(s)则N(S)D-1(S)也必是G(s)的一个右MFD且成立:degdetD(S)degdetD(s)若N(s)D-1(S)为G(s)的一个右MFD，而V(s)为任一单模阵，且选取N(S)=N(s)V(S),D(S)=D(S)V(s)，则N(S)D-1(S)也为G(s)的一个右MFD，且其阶次和N(s)D-1(s)相同，即：degdetD(s)=degdetD(s)给定传递函数矩阵G(s)的所有MFD中，一定存在一个次数为最小的MFD,称之为最小阶MFD,最小阶MFD也不是唯一的。若N(s)D-1(s)为G(s)的一个非最小阶MFD，则通过提出N(s)和D(s)的一个最大右公因子(gcrd)，就可得到G(s)的最小阶MFD。用真性严真性和不可简约性表征左右MFD结构特征。⑧由于左右MFD的某种对偶性，右MFD的性质对左MFD也对偶的成立，以下主要针对右MFD进行。8.2矩阵分式描述的真性和严真性真性和严真性：一个MFD代表的传递函数矩阵G（ｓ）＝nij(s)/dij(s)，如果degnij(s)=degdij(s),i,j则MFD是真的。如果degnij(s)degdij(s),i,j则MFD是严格真的或者:=G0（非零常阵）则G（ｓ）＝N（ｓ）D-1（ｓ）为真的=0则G（ｓ）＝N（ｓ）D-1（ｓ）为严格真的。只有当MFD为真或严格真时所代表的系统才能正常工作。)(limsGs)(limsGs判别准则：1.令N（ｓ）和D（ｓ）分别为q×p和p×p的多项式矩阵，D（ｓ）为列既约，当，i＝1，••••，p；MFDN（ｓ）D-1（ｓ）是真的。当，i＝1，••••，p；MFDN（ｓ）D-1（ｓ）是严格真的。2.[D（ｓ）为非列既约的情况］令N（ｓ）和D（ｓ）分别为q×p和p×p的多项式矩阵，D（ｓ）为非奇异但不是列既约的，现寻找一个单模阵W（ｓ）使D（ｓ）＝D（ｓ）W（ｓ）为列既约，且表N（ｓ）＝N（ｓ）W（ｓ）则当i＝1，••••，p；MFD为真的。当i＝1，••••，p；MFD为严格真。对偶的，左MFD的判据只是把列既约改成行既约，把不等式的列次换成行次即可。)()(sDsNcici)()(sDsNcici,sDsNcici,sDsNcici单模阵、列既约和行既约•单模阵定义一个方多项式矩阵Q(s)称之为单模阵，当且仅当其行列式detQ(s)是独立于s的一个非零常数。•列既约和行既约一个p×p的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果而称M(s)是行既约的，如果picisMsM1)()(detdegpirisMsM1)()(detdeg列次数和行次数•几个定义一个多项式向量的次数，被规定为这个向量的所有多项式元中，s的最高幂次。如果用β(s)来表示一个多项式向量，i(s)表示它的多项式元，则β(s)的次数可表为对于q×p的多项式矩阵M(s)，则其列次数和行次数分别规定为：第i个列次数的第i个列向量的次数，i=1,2,…,p第j个行次数的第j个行向量的次数，j=1,2,…,p},,2,1),({degmax)(pissii)()()()(sMksMsMksMriricici8.3由非真矩阵分式描述中导出严格真矩阵分式描述存在性和唯一性令N（ｓ）和D（ｓ）分别为q×p和p×p的多项式矩阵，N（ｓ）D-1（ｓ）为非真，则必定唯一地存在两个q×p的多项式矩阵Q(s)和R(s)，使成立:N（ｓ）D-1（ｓ）=Q(S)+R(s)D-1（ｓ）且R(s)D-1（ｓ）是严格真的。进一步，如果D（ｓ）是列既约，则R（ｓ）和D（ｓ）满足，i=1,2,••••，p；对偶于结论，对应条件换成行既约，和行次不等式及左MFD.)()(sRsDcici•算法：求出非真的有理分式矩阵表达式G(s)对G(s)中的非真元做多项式除法，得gij(s)=qij(s)+(gij(s))sp.则由qij(s)组成Q(s)，由(gij(s))sp.组成Gsp(s)。计算R(S)=Gsp(s)D(s)。求解N(s)D-1(s)=Q(s)+R(s)D-1(s)，其中R(s)D-1(s)为非真N(s)D-1(s)的严格真部分。自学例题8.6,p451以及P452的“一种特殊情况的多项式除法”。8.4不可简约矩阵分式描述右互质MFD和左互质MFD如果N(s)和D(s)是右互质的则G(s)=N(s)D-1(s)为右互质MFD，如果A(s)和B(s)是左互质的则G(s)=A-1(s)B(s)为左互质MFD，其中G(s)是q×p维的有理分式矩阵，表征p维输入和q维输出的线性定常系统的传递函数矩阵。不可简约MFD传递函数矩阵G(s)的所有右互质MFD和左互质MFD均称为G(s)的不可简约MFD(分子，分母没有公因子)或(左，右不可简约MFD)右互质和左互质•右互质称两个具有相同列数的多项式矩阵D(s)和N(s)是右互质的,如果它们的最大右公因子为单模阵。•左互质称两个具有相同行数的多项式矩阵A(s)和B(s)是左互质的,如果它们的最大左公因子为单模阵。公因子•公因子定义称方多项式矩阵R(s)为具有相同列数的两个多项式矩阵N(s)和D(s)的一个右公因子如果存在多项式矩阵N(s)和D(s)使成立:N(S)=N(s)R(s),D(s)=D(s)R(s)称方多项式矩阵Q(s)为具有相同行数的两个多项式矩阵B(s)和A(s)一个左公因子如果存在多项式矩阵使成立B(S)=Q(s)B(s),A(s)=Q(s)A(s)•最大公因子定义称方多项式矩阵R(s)为具有相同列数的两个多项式矩阵N(s)和D(s)的一个最大右公因子，简记为gcrd.如果：R(s)为两个多项式矩阵N(s)和D(s)的一个右公因子，且其它右公因子如R(s)均为R(s)的右乘因子。不可简约MFD的基本属性若N1(s)D1-1(s)和N2(s)D-12(s)都为G(s)的不可简约MFD则必存在单模阵U(s)，使成立：D1(s)=D2(s)U(s)，N1(s)=N2(s)U(s)(不可简约MFD的广义唯一性)一个G(s)的不可简约MFD为确定，其它的不可简约MFD可由此构造出来。如G(s)的一个不可简约MFD为N1(s)D1-1(s)则所有的不可简约MFDNi(s)Di-1(s)可表示为Ni(s)=N1(s)Ui(s)，Di(s)=D1(s)Ui(s),i=1,2,••••其中Ui(s)为单模阵(对于左不可简约MFD也同理)(可简约和不可简约MFD的关系)若N1(s)D1-1(s)为可简约，N1(s)D1-1(s)为不可简约MFD，则存在一个非奇异多项式矩阵T(s)成立：N(s)=N(s)T(s),D(s)=D(s)T(s)(显然N1(s)D1-1(s)的次数低于N1(s)D1-1(s)的次数)传递函数矩阵G(s)的所有不可简约MFDG(s)=Ni(s)Di-1(s)i=1,2,••••必成立：1.Ni(s)具有相同的Smith形2.Di(s)具有相同的不变多项式(行列式没有公因式）(Smith形见P416)史密斯形•史密斯形设有q×p的多项式矩阵Q(s),rankQ(s)=r,0rmin(q,p).如果可找到相应的单模阵{V(s),U(s)},使有其中{i(s)}是满足整除性i(s)i+1(s),i=1,2,,r-1的非零首1多项式。则称(S)为多项式矩阵Q(s)的史密斯形。0000)(0)()()()()(1SSSsVsQsUr左不可简约MFD和右不可简约MFD有相同和性质1~2，且具体性质形式上是对偶的。若A-1(s)B(s)和N(s)D-1(s)分别为G(s)是左和右不可简约MFD，则degdetA(s)=degdetD(s)不可简约MFD比可简约MFD的阶次小，且左右MFD均为最小阶时，他们的阶次相等。8.5确定不可简约矩阵分式描述的算法算法1：例题8.8，P459G(s)=N(s)D-1(s)为可简约MFD，R(s)为D(s)，N(s)的gcrd，则D(s)=D(s)R-1(s),N(s)=N(s)R-1(s)则G(s)=N(S)D-1(s)为G(s)的不可简约MFD。关键是求R(s)gcrd算法2：在算法1的基础上，寻找单模阵U(s)，使＝，再表：其中dimV11(s)=dimD(s)，则V21(s)V11-1(s)是G(s)的不可简约MFD。sNsDsU)(0)(sR-)()()()()()(222112111sVsVsVsVsVsU算法3：由可简约G(s)=N(s)D-1(s)求出其左不可简约A-1(s)B(s)的方法。首先解方程如果A（ｓ），B（ｓ）不左互质，寻找gcldR(s)计算R-1(s)取A(s)=R-1(s)A(s),B(s)=R-1(s)B(s)则A-1(s)B(s)为G(s)的不可简约左MFD自学例题8.9，P461-4630)()()()(-sNsDsAsB8.6规范矩阵分式描述（对分母矩阵的形式限制）列埃尔米特形：给定q×p的传递函数矩阵G(s)，如果DH(s)具有列埃尔米特形(埃尔米特形见P393)，则NH(s)DH-1(s)为它的列埃尔米特形右MFD。如果AH(s)具有行列埃尔米特形，则A-1H(s)BH(s)为它的列埃尔米特形左MFD。DH(s)的形式为)()()()()()()(21222111sdsdsdsdsdsdsDppppH其中dii(s)为首1多项式，degdii(s)degdij(s)当dii(s)＝1时则dij(s)＝0AH(s)的形式为•结论：给定传递函数矩阵G(s)，G(s)的所有不可简约右MFD，均具有相同的列埃尔米特形规范矩阵分式描述NH(s)DH-1(s)；G(s)的所有不可简约左MFD，均具有相同的行埃尔米特形规范矩阵分式描述A-1H(s)BH(s)。)()()()()()()(22211211sasasasasasasAqqqqH波波夫形MFD（见P422满足一系列条件的矩阵）•给定q×p的给定传递函数矩阵G(s)，如果DE(s)具有波波夫形，则称NE(s)D-1E(s)为它的波波夫形右MFD。如果AE(s)具有波波夫形，则称A-1E(s)BE(s)为它的波波夫形左MFD。•结论：给定传递函数矩阵G(s)，所有的不可简约左和右MFD均具备同一波波夫形矩阵分式描述