2016年高考数学-热点题型和提分秘籍-专题06-函数的奇偶性与周期性-理(含解析)新人教A版

-1-2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题06函数的奇偶性与周期性理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．【热点题型】题型一函数奇偶性的判定例1、(1)下列函数不具有奇偶性的有________．①f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝x2＋|x|－2；④f(x)＝lgx2＋lg1x2；⑤f(x)＝x2＋xx，－x2＋xx(2)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】(1)①(2)B【解析】-2-④定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)＝lgx2＋lg1x2＝lgx2＋lg(x2)－1＝lgx2－lgx2＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．⑤【提分秘籍】-3-(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路：①定义法：②图象法：③性质法：a.“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；b．“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；c．“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．(2)判断函数奇偶性时应注意问题：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．②“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．【举一反三】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】-4-＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.题型二函数的周期性例2、已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2014)的值为()A．2B．0C．－2D．±2【答案】A【解析】【提分秘籍】函数周期性的判断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f(x＋a)＝－f(x)⇒T＝2a.【举一反三】函数f(x)＝lg|sinx|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数【答案】C【解析】易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数．题型三函数奇偶性、周期性等性质的综合应用-5-例3、设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝________.【答案】2【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数值．(2)与函数图象有关的问题．(3)奇偶性、周期性单调性的综合．2.应用函数奇偶性可解决的问题及方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．-6-(4)应用奇偶性画图象和判断单调性.【举一反三】设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝121－x，则下列命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝12x－3.其中正确命题的序号是________．【答案】①②④【解析】【高考风向标】【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是()A．yxB．sinyxC．cosyxD．xxyee【答案】D【解析】函数yx是非奇非偶函数；sinyx和cosyx是偶函数；xxyee是奇函数，故选D．【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）-7-A．B．C．D．【答案】．【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、、依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A）ycosx（B）ysinx（C）ylnx（D）21yx【答案】A【解析】由选项可知，,BC项均不是偶函数，故排除,BC，,AD项是偶函数，但D项与x轴没有交点，即D项的函数不存在零点，故选A.【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=2ln()xxax为偶函数，则a=【答案】1【解析】由题知2ln()yxax是奇函数，所以22ln()ln()xaxxax=22ln()ln0axxa，解得a=1.（2014·福建卷）已知函数f(x)＝x2＋1，x0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)【答案】D【解析】-8-（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3【答案】C【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．【答案】(－1，3)【解析】根据偶函数的性质，易知f(x)0的解集为(－2，2)，若f(x－1)0，则－2x－12，解得－1x3.（2013·广东卷）定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】函数y＝x3，y＝2sinx是奇函数．-9-（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】∵f()x为奇函数，∴f()－1＝－f(1)＝－12＋11＝－2.（2013·四川卷）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)5的解集是________．【答案】(－7，3)【解析】当x＋2≥0时，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)＝x2－4，由f(x＋2)＜5，得x2－4＜5，即x2＜9，解得－3＜x＜3，又x＋2≥0，故－2≤x＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x＋2)的图像关于直线x＝－2对称，于是－7＜x＜－2也满足不等式．【高考押题】1．函数f(x)＝－x2|x＋3|－3是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】A【解析】-10-2．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()A．－2B．－1C．1D．2【答案】C【解析】∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴对任意的x∈R，f(x)＝f(－x)恒成立．即x2＋(1－a)x－a＝x2－(1－a)x－a恒成立，∴1－a＝－(1－a)，解得a＝1.3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23【答案】A【解析】由题意，得|2x－1|＜13，∴－13＜2x－1＜12，∴13＜x＜23.4．若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足于f(x)－g(x)＝ex，则有()A．f(2)＜f(3)＜g(0)B．g(0)＜f(3)＜f(2)C．f(2)＜g(0)＜f(3)D．g(0)＜f(2)＜f(3)【答案】D【解析】由题意，得fx－gx＝ex，－fx－gx＝e－x，-11-解得fx＝ex－e－x2，gx＝－ex＋e－x2.故g(0)＝－1，f(x)为R上的增函数，0＜f(2)＜f(3)，故g(0)＜f(2)＜f(3).5．若函数f(x)＝loga2x－2logax，(a＞0且a≠1)在区间12，2上为减函数，则实数a的取值范围为()A．(0,1)∪(1,2]B．(0,1)∪(2，＋∞)C．[2，＋∞)D．(1，＋∞)【答案】C【解析】6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(1)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)【答案】D【解析】-12-7．设函数f(x)＝x＋x＋ax为奇函数，则a＝__________.【答案】－1【解析】∵f(x)为奇函数，∴由f(－1)＝－f(1)，得a＝－1.8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝__________.【答案】－19．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若方程f(x)＝0有2009个实数解，则这2009个实数解之和为__________．【答案】0【解析】∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．非零解成对出现，且互为相反数，另必有一解为0，故这2009个实数解之和为0.10．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式fxx－12＜0的解集．【解析】-13-11．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图像；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数，还是减函数；(4)求函数的值域．解析：(1)∵x∈[－3,3]，∴f(x)的定义域关于原点对称．f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)．即f(－x)＝f(x)，∴f(