实变函数与泛函分析基础第七章(1-3)

现代分析学实变函数论与泛函分析基础第七章度量空间和赋范线性空间§1度量空间的进一步例子§2度量空间中的极限，稠密集，可分空间§3连续映射第七章度量空间和赋范线性空间§1度量空间的进一步例子定义：设X为一非空集合，d:X×X→R+∪{0}为一映射，且满足(1)d(x,y)≥0，d(x,y)=0当且仅当x=y（正定性）(2)d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)（三点不等式）注：距离d具有对称性，d(x,y)＝d(y,x)事实上，d(x,y)≤d(x,x)＋d(y,x)＝d(y,x)，同理d(y,x)≤d(x,y),故d(x,y)＝d(y,x).如果(X,d)为度量空间，Y是X的非空子集，则(Y,d)也是度量空间，称为(X,d)的子空间.则称d(x,y)为x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间.例1离散度量空间设X是任意非空集合，对X中任意两点x,y∈X,令1(,)0xyxyxy显然，这样定义的(,)满足距离的全部(,).X条件，我们称是离散的距离空间这种距离是最粗的。它只能区分X中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。例2所有数列组成的集合S,,nnabS对定义11(,)21nnnnnnabab(,)S那么，是上的度量，上式通常称为Fréchet组合。0012(,)显然，满足度量条件，下面验证条件事实上，对ξ,η及γ={cn}∈S,由于函数是单调增函数，因此由()(0)1xxxxnnnnnnabacbc得11nnnnnnnnnnnnabacbcabacbc11nnnnnnnnnnnnacbcacbcacbc11nnnnnnnnacbcacbc在上面不等式两边同乘12n再求和，便得(,)(,)(,)因此(S,ρ)是距离空间。例3有界函数空间B(A).设A是个给定的集合，B(A)表示A上有界实值(或复值)函数全体，对B(A)中的任意两点x,y,定义(,)sup()()tAxyxtyt则ρ(x,y)是B(A)上的度量，事实上，ρ(x,y)显然满足10，以下证明也满足20.对另一连续函数z∈B(A),由()()()()()()xtytxtztytztsup()()sup()()tAtAxtztytzt=(,)(,),()xzyztA所以(,)(,)(,).xyxzyz例4可测函数空间M(X).设M(X)表示X上连续实值(或复值)的L可测函数全体，m为L测度，若m(X)∞,对M(X)中的任意两个函数f,g,定义dttgtftgtfgfdX)()(1)()(),(与例2同理可证d(f,g)是M(X)上的度量.事实上，对任意两个可测函数f(t)及g(t),由于1)()(1)()(tgtftgtf，所以这是X上的可积函数，如果把M(X)中的两个几乎处处相等的函数视为M(X)中的同一个元，那么利用上面不等式及积分性质很容易验证d(f,g)是度量.因此M(X)按上述距离d(f,g)成为度量空间。例5连续函数空间C[a,b].令C[a,b]表示闭区间[a,b]上连续实值(或复值)函数全体，对C[a,b]中的任意两点x,y,定义(,)max()()atbxyxtyt与例3同理可证ρ(x,y)是C[a,b]上的度量.例6l2.，设记22122,.lyylxxxxxlkkkkk定义2112),(kkkxyyxd则d是l2上的距离。距离条件10是容易得出的，现检验条件20对任何正整数n，nnnnyyyyxxxx,,,,,2121和都是Rn中的元素，由Cauchy不等式nkknkknkkkyxyx121221再令右端n→∞，即得121221kkkknkkkyxyx再令左端的n→∞，即得121221kkkknkkkyxyx由此可得12112122kkkkkkkkkkyyxxyx1221121212.2kkkkkkkkyyxx221122112kkkkyx.,,kkk取代入上式以kkkkkkyx,即可得条件20).,(),(),(ddd由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间Rn之外，还包括其他的空间.§2度量空间中的极限，稠密集，可分空间非空集合X引入距离（度量）后，就可以在其上定义极限概念。定义1设(X,d)为度量空间，d是距离，定义00(,)(,)UxxXdxx0.x为的领域定义2设(X,d)为度量空间，{xn}是X中的点列，如果存在x∈X,使得lim(,)0,nndxxlim().nnnxxxxn或称点列{xn}收敛于x.x叫作点列{xn}的极限，记作度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。比如极限的唯一性等等。定理1度量空间(X,d)中的收敛点列{xn}的极限是唯一的，且如果{xn}收敛于x∈X，则{xn}的任意子列{xnk}也收敛于x.定义3设M为度量空间(X,d)中的点集，定义,()sup(,)xyMMdxy(),MMM为点集的直径.若则称为(,)Xd中的有界集.定理2度量空间(X,d)中的收敛点列{xn}是有界集.定理3M为度量空间(X,d)中的闭集当且仅当M中的任意收敛点列{xn}的极限均在M中.下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。()()()()121.,,,nmmmmnRxxxx中的点列(0)(0)(0)(0)12,,,nxxxx收敛到的充分必要,(1)iin条件是，对每一个，有()(0)()miixxm，即按坐标收敛。证明“必要性”：对任意的i=1,2,...,n,由于122()(0)()(0)()(0)1(,)nmmmiikkkxxxxdxx()(0)()0()mdxxm因为，所以()(0)0(),(1,2,,).miixxmin“充分性”：若对任意的i=1,2,...,n,有()(0)0().miixxm122()(0)()(0)1(,)nmmkkkdxxxx()(0)()(0)()(0)1122mmmnnxxxxxx()(0)()0()mdxxm，.2.C[a,b]空间中，函数列{xn}收敛于函数x∈C[a,b]当且仅当{xn}一致收敛到x.0,lim(,)0,nnxx因为证明“必要性”：limmax()()0,,nnatbxtxtN即于是，正整数,max()(),natbnNxtxt使得当时有,[,],nNtab当时对所有的有()()max()(),nnatbxtxtxtxt即{xn}在[a,b]上一致收敛到x.“充分性”：若{xn}一致收敛到x,则对任给ε0,存在正整数N,使得当nN时，对任意的t∈[a,b],有|()()|.2nxtxtmax()(),2natbxtxt于是，当nN时，有limmax()()0,nnatbxtxtlim(,)0.nnxx即3.S序列空间中的点列()()()()12,,,mmmmnxxxx，(0)(0)(0)(0)12,,,nxxxx收敛到，的充分必要条件是，,(1,2,,,)iin对每一个，有()(0)()miixxm，即按坐标收敛。证明“必要性”：由于()(0)()(0)()(0)11(,)0().21miimimiiixxxxnxx()(0)limmmxx，于是()(0)()(0)()(0)1(,)(1,2,),21miimimiixxxxixx因为()(0)()(0)()(0)2(,)(1,2,),1miiimmiixxxxixx所以()(0)()(0)lim0(1,2,),1miimmiixxixx取定i,任给ε0,存在正整数N,使得当mN时，有()(0)()(0),11miimiixxxx()(0)()(0)11,mmiiiixxxx()(0)()(0),lim.mmiiiinxxxx“充分性”：任给ε0,因为级数()(0)()miixxm，112ii收敛，所以存在正整数k,使得122iik，因为对每一个i,(i=1,2,...),有于是，对每一个i,(i=1,2,...,k-1),存在正整数Ni,使得当mNi时，有()(0),2miixx令N=max{N1,N2,...,Nk-1},当mN时，有()(0),(1,2,,1),2miixxik那么，当mN时，有()(0)11()(0)11112,22112mkkiiiimiiiixxxx1112.12223212ii()(0)lim.mmxx4.可测空间M(X)中，函数列{fn}收敛于函数f∈M(X)当且仅当{fn}依测度收敛于f.证明：与第五章的习题6,7同理可证.令gn(t)=fn(t)-f(t)(t∈X,n=1,2,...).“必要性”：首先对任意σ0，由于()1()()1()nnnngxXgxgxmXdxgx()1()()()1()1()nnnnnnXgxXgxgxgxdxdxgxgx()()lim0,0.1()1()nnnnngxgxmXXgxgx即于()limd01()nXnngxxgx，所以,0)()(1)()(lim),(limdttftftftfffdXnnnnn因为0,()0,1xxx其次，注意到在递增，11nnnggg所以，于是，11nnngXgXg，,11nnngmXgmXg0lim0,111nnnnnggmXgg因为，故lim0,0.nnnmXggX从而于,0.nnffXgX于于“充分性”：若()()0,1()1nnnnngxggxgxg因为，，1nnnnggXXgg，，,1nnngmXmXgg0lim0,nnngmXg因为，故lim0,1nnngmXg0.,01,11nnnnggXmXgg则于又由有界控制收敛定理，()limd0d01()nXXnngxxxgx，所以.0)()(1)()(lim),(limdttftftftfffdXnnnnn上述几个例子表明，尽管在各个具体空间中各种极限概念不一致（依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛等），但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在度量空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。定义4设(X,d)为度量