方差概念及计算公式

方差概念及计算公式一．方差的概念与计算公式例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E(X)=72；Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即，其中分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。二．方差的性质1．设C为常数，则D(C)=0（常数无波动）；2．D(CX)=C2D(X)（常数平方提取）；证：特别地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)（方差无负值）3．若X、Y相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为当X、Y相互独立时，，故第三项为零。特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。三．常用分布的方差1．两点分布2．二项分布X~B(n,p)引入随机变量Xi（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布），3．泊松分布（推导略）4．均匀分布另一计算过程为5．指数分布（推导略）6．正态分布（推导略）~正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。例2求上节例2的方差。解根据上节例2给出的分布律，计算得到求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。S=((x1-x的平均值)^2+(x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。用matlab或c语言编写求导程序已知电容电压uc,电容值求电流i公式为i=c(duc/dt)怎样用matlab或c语言求解asp:SqlDataSourceID=rightrunat=serverConnectionString=%$ConnectionStrings:conn2%SelectCommand=SELECTtop7[tjid],[title]FROM[rec]WHERE([pass]=@pass)ORDERBY[tuijian]DESC,[date_pass]DESC,[click]DESCSelectParametersasp:ParameterDefaultValue=1Name=passType=Int32//SelectParameters/asp:SqlDataSource函数的幂级数展开式通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：，，………………………………………………，………………………………………………在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明）在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：其中c在0与x之间此式子被称为麦克劳林公式。函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数ex2.正弦函数的展开式3.函数(1+x)m的展开式数学应用1.解线性方程组矩阵分解(A)[B,C]=返回cholluqrsvdschur求解方程AX=BXA=BX=A\BX=B/A恰定cramer公式,矩阵求逆,gaussian消去,lu法%主要就用A\B不要用inv(A)*B超定求最小二乘解用A\B%基于奇异值分解；用pinv(A)*B%基于householder变换欠定由qr分解求得非负最小二乘解X=nnls(A,b,TOL)TOL指定误差，可缺省零点法求解方程fzero一元fsolve多元x=fzero(fun,x0)[x,fval,exitflag]=fzero(fun,x0,options,P1,P2,...)注：x0是猜测的起始点，可用plot先绘fun,用ginput来用鼠标获取零点猜测值符号方程X=linsolve(A,B)等于X=sym(A)\sym(B)%例X=linsolve(A,b);XX=X+'k'*null(A)S=solve('eqn1','eqn2',...'eqnN')solve('eqn1','eqn2',...'eqnN'，'var1','var2',...'varN')返回S是结构数组，引用S.var1或返回给[x1,x2,...,xn]矩阵的特征值和特征向量D=eig(A)特征值[V,D]=eig(A)V是特征向量A*V=V*D[V,D]=eig(A,'nobalance')预先平衡[V,D]=eig(A,B)广义特征值符号矩阵同数值矩阵%例中vpa(A)?对角化[P,D]=eig(A)inv(P)*A*P是对角阵Jordan标准型[V,J]=jordan(A)其他常用cdf2rdf(V,D)复转实funm(A,'function')计算函数值eighesshessenbergexpm指数null奇异值分解零空间标准正交基orth标准正交基pinv广义逆sqrtm平方根cond条件数rref阶梯阵rsf2csf实转复det行列式subspace子空间夹角rank秩condeig特征值条件数norm范数2.多项式P=poly(A)由给定的根A（根数组，或矩阵之特征值）创建多项式符号多项式ploy(A)返回中用x表示，ploy(A,v)中用v来表示ploy2sym(C)向量转符号多项式计算conv(a,b)乘法a=[1321];b=[43910];c=conv(a,b)[q,r]=deconv(a,b)除法poly(A)用根构造polyder(a)求导a=[1321];polyder(a);polyder(a,b):polyder(conv(a,b))[q,d]=polyder(a,b):b/a的倒数q分子d分母polyfit(x,y,n)拟合polyval(p,x)计算x处y=..polyvalm(p,X)矩阵多项式得值X是方阵[r,p,k]=residue(a,b)分式展开式r留数p极点k直项[a,b]=residue(r,p,k)分式组合roots(a)根因式分解factor(s)因式分解collect(S)合并同类项缺省合并xcollect(S,v)合并v变量同类项expand(s)表达式展开简化pretty将代数式转化为手写格式即改变表示幂、乘方*^的样式simplify化简表达式，强如：simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)结果1simple用simplifycollectfactorhorner等简化函数化简，并选取最短的结果simple(s)化简，并显示中间过程[R,How]=simples(s)结果给R，过程给Howsimple所用的转化运算combine(trig)三角运算convert(exp)尽量指数化convert(sincos)尽量三角式化convert(tan)尽量tan化horner多项式转为嵌套形式秦九韶算法多项式提取subexpr代换式中一些部分[Y,s]=subexpr(t,'s')s是复杂式的代换符号，t是原表达式，Y是代换后的式子subs(S,old,new)将new代入S中的old3.曲线拟合多项式拟合[a,S]=polyfit(x,y,n)对数据(xi,yi)拟合n阶多项式a是系数S是Vandermonde矩阵进行Cholesky分解。。。。的结构矩阵[ye,delta]=polyval(a,x,S)利用计算结果估计数据带yi+-deltay超过五阶不好非线性最小二乘估计转为线性4.插值和样条interp1interpftinterp2interp3interpngriddatameshgridndgridspline一维插值yi=interp1(x,y,xi,method)由xy插值xi处，method可选linear线性cubic三次spline三次样条nearst最近邻域二维插值zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)样条finder对样条函数求导fnint对样条函数积分mkpp(pp)分解出样条各段的数据,依次返回[breaks断点位置,coef,pieces,order,dim]ppval(pp,xx)由逐段多项式求值splineyy=spline(x,y,xx)三次样条xx处值或pp=spline(x,y)获得多项式数据;yy=ppval(pp,xx)再由pp计算xx处值unmkpp逐段多项式数据形式的重组5.数值积分微分一维数值积分quadsimpson法，精度高quad('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,...)(被积函数，积分上限，积分下限，tol[相对误差，绝对误差]，是否图形显示，参数，...)quad88样条newton-cotes公式最常用trapz梯形法定积分cumtrapz梯形法区间积分sum等宽矩阵法定积分cumsum等宽矩阵法区间积分fnint样条的不定积分多重数值积分dblquad('fun',inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method)定积分积分限为函数时先求G(y)={x2(y),x1(y)}f(x,y)dx再求I={y2,y1}G(y)dy这里用{}表示豆芽符数值微分多项式求导polyder差分算积分diff(X)6.符号微积分约定变量x系数a,b极限limit(f,x,a)求x-a时f值、limit(f,x,a,'right')右极限limit(f,x,a,'left')左极限导数diff(f,a,n)对变量a求n阶积分，a,n均有默认差分Y=diff(F数组,n差分阶数,dim指定维数)J=jacobian(f列向量,v行向量)雅可比矩阵可用simple化简积分int(s,v,a,b)(式，变量，下限，上限)级数求和symsum(s,v,a,b)泰勒级数taylor(f,n)指定项数(f,a)指定点(f,x)指定变量？n,a,x可否连用，顺序7.常微分方程%以下有待细看ode23ode45ode113ode23tode15sode23tb...odefileodesetodeget...odephas2odephas3odeprint8.数据分析和傅立叶变换9.稀疏矩