求值域的方法

1求函数值域的方法1、直接法：从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。例1：求函数1yx的值域。∴函数1yx的值域为[1,)。例2.求函数x1y的值域。例3.已知函数112xy，2,1,0,1x，求函数的值域。所以：3,0,1y，2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。故函数的值域是：[4，8]例2：求函数242yxx（[1,1]x）的值域。，∴函数242yxx（[1,1]x）的值域为[3,5]。例3．求函数322xxy的值域。20y。例4．求函数xxxy422在区间]4,41[x的值域。所以函数在区间]4,41[x的值域是41186y。23、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例3：求函数1212xxy的值域。∴函数1212xxy的值域为(1,1)y。4、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例4：求函数125xyx的值域。∴函数125xyx的值域为1{|}2yy。5、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a）的函数常用此法求解。对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例1：求函数212yxx的值域。∴函数212yxx的值域为5(,]4。例3.求函数1x1xy的值域。故原函数的值域为]2,0(例8．求函数21)45)(125(22xxxxy的值域。值域为1618|yy例6．求函数xxy12的值域。所以值域为]1,(。36、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222axbxcyaxbxc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）例1.求函数22x1xx1y的值域。故函数的值域为23,217、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例1：求函数12yxx的值域。∴函数12yxx的值域为1(,]2。例2．求函数xxy1在区间,0x上的值域。函数xxy1在区间,0x上的值域为),2[。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例3：求函数xxxf11的值域。所以：422xf，22xf。8、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例1：求函数2211xyx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得2(1)(1)yxy，∵1y，∴211yxy（xR，1y），4∴101yy，∴11y，∴函数2211xyx的值域为{|11}yy9、图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例1：求函数|3||5|yxx的值域。由图像知：函数|3||5|yxx的值域为[8,)例2.求函数22)8x()2x(y的值域。故所求函数的值域为：],10[例3.求函数5x4x13x6xy22的值域。解：原函数可变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成x轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，43)12()23(|AB|y22min，故所求函数的值域为],43[例4.求函数5x4x13x6xy22的值域。解：将函数变形为：2222)10()2x()20()3x(y5]26,26(例5．求函数xxy11的值域。所以：值域为22y10.不等式法利用基本不等式abc3cba,ab2ba3)Rc,b,a(，求函数的最值，此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。例3．求函数2302xxxy的值域。值域),50[]18,(y注意：利用重要不等式时，要求,0xf且等号要成立。11.一一映射法原理：因为)0c(dcxbaxy在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例1.求函数1x2x31y的值域。解：∵定义域为21x21x|x或6由1x2x31y得3y2y1x故213y2y1x或213y2y1x解得23y23y或故函数的值域为,2323,12.多种方法综合运用例1.求函数3x2xy的值域。综上所述，函数的值域为：21,0注：先换元，后用不等式法