线段计数问题的规律探究及其简单应用例析

第1页共2页线段计数问题的规律探究及其简单应用例析作为初一数学几何部分的入门知识，线段的计数问题一直是令广大学生朋友比较头痛的疑难问题之一。为帮助大家更好地理解和掌握这方面的相关知识，在下文中，笔者将结合实例和大家一起来探讨这个问题。一、规律探究实例：如图①和②，请问两图中各有几条线段？图①图②解析：由线段的定义可知，平面上每确定两个点就会确定一条以这两点为端点的线段，故在上图①中，由A、B、C三个点共可确定AB、AC、BC三条线段，而在图②中，由A、B、C、D四个点一共可以确定AB、AC、AD、BC、BD、CD共六条线段。事实上，为避免重复，我们一般可采用下图所示的方法来数线段的条数：即A→AB，AC，ADB→BC，BDC→CD线段总数为3+2+1=6。采用以上方法数线段的好处在于：当直线上的点比较多时，我们可以找到一个比较简便的计数规律，从而方便地计算出线段的条数。比如，在直线上有n个点，则一共可以组成(1)(2)21nn条不同的线段。——而事实上，如果我们设S=(1)(2)21nn，则：2S[(1)(2)21][12(2)(1)]nnnn[(1)1][(2)2][2(2)][1(1)]nnnn(1)nnnnnn个相加(1)nn.故S=(1)2nn，即直线上n个点一共可以组成(1)2nn条线段。二、规律应用1、平面内n个点最多能确定多少条直线？解析：易知，当平面内各点中无三点在同一条直线上时，所确定的直线是最多的，又因为“两点确定一条直线”，所以这与前面每两点确定一条线段的规律是一样的，因而平面内第2页共2页n个点最多能确定(1)2nn条直线。2、平面内n条直线相交最多有几个交点？解析：本题和上例相类似，只要平面中的直线无三线共点（即所有直线均为两两相交），那么构成的交点数量应该是最多的，故由两线确定一点可知，平面内n条直线相交最多能确定(1)2nn个交点。3、如右图，从同一端点O出发的n条射线（最大夹角小于平角），一共可以组成多少个角？解析：因为每两条从同一点出发的射线就可以组成一个角，故本题同样符合线段条数的计数规律，一共可以组成(1)2nn个角。4、在1，2，3，…，n这n个不同的自然数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？解析：本题看似和线段条数的计数规律无关，但事实上，若把每两个数看作直线上的点，而把这两个数求和得到的结果看成是线段，则其中的道理就和直线上线段的计数规律是完全一致的，故本题不同的结果共有(1)2nn种。5、请数一数右图中共有多少个三角形？解析：因为所有的三角形都含有顶点A，所以只需余下的两个顶点不同即可，以上问题便转化为：在线段BG上有多少条不同的线段。由线段条数的计数规律可知BG上共有15条不同的线段，因而图中共有15个不同的三角形。（当然，也可以像前面第3题一样通过数以A为顶点的角的个数来确定所组成的三角形个数）