南京鼓楼区2019-2020初三上学期数学期中考试卷及解析

九年级数学试卷第1页（共12页）2019【鼓楼区】初三（上）数学期中试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每次降价百分率为x，则可列方程A．100(1＋x)2＝81B．100(1－x)2＝81C．81(1＋x)2＝100D．81(1－x)2＝1003．一元二次方程x2＋2x＋4＝0的根的情况是A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根4．解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是A．(x＋2)2＝3B．(x－2)2＝3C．(x＋2)2＝5D．(x－2)2＝55．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是A．70°B．120°C．140°D．160°6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，称它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为A．2B．3C．4D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程：▲．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为▲．9．若圆锥的底面半径长为1，母线长为2，则圆锥的侧面积为▲．（第5题）ABCDO（第6题）①BADOCBADCOHC②BADEF九年级数学试卷第2页（共12页）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC长为▲．11．若x＝m是方程x2＋2x－2019＝0的一个根，则m(m＋2)的值为▲．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边都相切．若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD长为▲．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝22，则AB和CD之间的距离为▲．14．若关于x的方程x2－(k＋3)x＋3k＝0的两根之差为8，则k的值为▲．15．如图，AB是⊙O的内接正方形的一边，点C在AB︵上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边．若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是▲．16．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是▲．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列一元二次方程．⑴x(x＋3)＝5(x＋3)；⑵2x2＋4x＋1＝0．ABCDOE（第10题）DCBAO（第12题）ABO（第13题）ABCO（第15题）九年级数学试卷第3页（共12页）18．（7分）如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE．求证DE∥AB．19．（8分）一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0．⑴若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；⑵若该方程的两根x1、x2满足1x1＋1x2＝－3，求k的值．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上．CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E．求证∠BCE＝∠BFC．ABCDEFO（第21题）ABCDEO（第18题）九年级数学试卷第4页（共12页）22．（8分）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．⑴用直尺和圆规作出AC（保留作图痕迹，不写作法）；⑵若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．23．（8分）如图，学校打算用50m的篱笆围成一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，⌒BC＝⌒CD，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．⑴求证：CE是⊙O的切线；⑵已知BC＝3，AC＝4，求CE的长．ABCDMN25m（第23题）ABMDEO（第22题）ABCDEO（第24题）九年级数学试卷第5页（共12页）25．（8分）如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点．若B在⊙O上运动一周：⑴证明点P运动的路径是一个圆．⑵△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．26．（9分）已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外部．．且⊙O上存在．．点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．⑴对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）；①当OP＝1.2时，②当OP＝2时，③当OP＝3时，点P▲⊙O的领域点；点P▲⊙O的领域点；点P▲⊙O的领域点．⑵若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是▲；⑶如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝－x＋b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，直接写出b的取值范围．OPOPOPxyO-2-112-2-112①xyO-2-112-2-112②BAOP（第25题）（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M、r．九年级数学试卷第6页（共12页）27．（8分）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝1，x2＝－2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是．解法探讨⑴小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题；⑵小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1个方程中的“x”，则“x＋2”的值为▲，从而更简单地解决了问题．策略运用⑶小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答．已知方程(a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．小明的思路第1步把1、－2代入到第1个方程中求出m的值；第2步把m的值代入到第1个方程中求出－ba的值；第3步解第2个方程．九年级数学试卷第7页（共12页）2019—2020学年度鼓楼区第一学期期中试卷参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．答案不唯一，如：x2＝2x12．38．π13．3±29．2π14．－5或1110．5215．1211．201916．－2三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题8分）（1）解：x(x＋3)－5(x＋3)＝0，(x－5)(x＋3)＝0，∴(x－5)＝0或(x＋3)＝0，∴x1＝5，x2＝－3．（2）解：∵a＝2，b＝4，c＝1，∴b2－4ac＝8＞0，∴x＝－4±84，∴x1＝－2＋22，x2＝－2－22．18．（本题7分）证法一：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B．∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠EDA＋∠B＝180°，又∠EDA＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，∴∠CDE＝∠A．∴DE∥AB．题号123456答案ABDCCD九年级数学试卷第8页（共12页）证法二：连OD、OE、DB．∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC．∴∠DOB＝∠AOE．∴⌒AE＝⌒BD．∴⌒AE－⌒DE＝⌒BD－⌒DE．∴⌒AD＝⌒BE．∴∠DBA＝∠BDE．∴DE∥AB．19．（本题8分）解：设最短边为x，则另两边为(x＋1)、(x＋2)．根据题意列方程，得：x2＋(x＋1)2＝(x＋2)2，解得：x1＝3，x2＝－1．∵x2＝－1＜0，∴舍去．当x1＝3时，x＋1＝4，x＋2＝5．答：三角形三边长为3、4、5．20．（本题8分）（1）解：∵该方程是一元二次方程，∴k≠0．∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4k(k＋2)＞0．解得k＜14．∴k＜14且k≠0．（2）解：∵x1＋x2＝－2k＋1k，x1·x2＝k＋2k，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1·x2＝－2k＋1k＋2．∴－2k＋1k＋2＝－3．∴k＝－5．ABCDEO（第18题）九年级数学试卷第9页（共12页）21．（本题8分）证法一：延长CD交⊙O于点G．∵⊙O中，直径AB⊥CG，∴⌒CB＝⌒BG．∴∠BCE＝∠BFC．证明二：连AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠A＋∠CBD＝90°．∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°．∴∠BCE＋∠CBD＝90°．∴∠A＝∠BCE．又∠A＝∠BFC，∴∠BCE＝∠BFC．22．（本题8分）（1）如图，AC即为所求；（2）解：连OD、OE．∵⊙O分别切AB、BM于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥BC．∴∠ODB＝90°，∠OEB＝90°．又∠ABM＝90°，∴四边形ODBE是矩形．∵OD＝OE，∴矩形ODBE是正方形．∴BD＝BE＝OD＝1．∵⊙O分别切AB、AC于点D、F，∴AF＝AD＝4．同理CF＝CE．∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC2＝AB2＋BC2．即(CE＋4)2＝(CE＋1)2＋52．解得CE＝53．∴AC＝AF＋CF＝173．ABCDEFO（证法一）GABCDEFO（证法二）ABMDEO（第22题）FC九年级数学试卷第10页（共12页）23．（本题8分）解：设这个生物园的边AB的长为xm．根据题意，得x(50－2x)＝300．解这个方程，得x1＝15，x2＝10．当x＝15时，BC＝50－2×15＝20＜25，满足题意；当x＝10时，BC＝50－2×10＝30＞25，不合题意，舍去．答：这个生物园的边AB的长为15m．24．（本题8分）（1）证明：连接OC．∵⌒BC＝⌒CD，∴∠EAC＝∠CAB．∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA.∴∠EAC＝∠OCA．∴OC∥AE.∴∠E＋∠OCE＝180°．又CE⊥AD，∴∠E＝90°，∴∠OCE＝90°．即OC⊥EC．∵点C在圆上，∴CE是⊙O的切线．（2）解：如图，作CF⊥AB，垂足为F．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴AB＝32＋42＝5．∵AB·CF＝AC·CB，∴CF＝3×45＝125．由（1）知：AC平分∠EAB，∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE＝CF＝125．ABCDEO（第24题）F九年级数学试卷第11页（共12页）25．（本题8分）（1）证明：连OB、OA，取OA的中点M，连PM．∵O、A为定点，∴M为定点．∵P是AB的中点，M是OA的中点，∴PM＝12OB＝1，PM即为定长r．∵在运动过程中，点P到定点M的距离始终为定长1，∴点P运动的路径是一个圆．（2）332≤PC≤732．∵P为AB中点，PC长即为所构造等边三角形的高，等边三角形高h与边长a的关系为32ha，∴只需求AB的取值范围即可，AB长度即为圆外一点到圆距离，∴drABdr，即37AB，∴33373222PCAB.26．（本题9分）（1）是、是、不是；（2）1＜OP≤2．（3）①解：以O为圆心、2为半径画圆．由题意得，此时MN是圆的切线（设切点为P），∴OP⊥MN．对直线y＝－x＋b（b＞0），∵当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝b，∴OM＝ON＝b．∵OP⊥MN，∠MON＝90°，∴MN＝2OP＝4．∴2b2＝42，即b＝22．②1＜b≤22．①xyO-2-112-2-112MNPBAOPMCPD'ODAB九年级数学试卷第12页（共12页）27．（本题8分）（1）解：将x1＝1，x2＝－2代入