八年级数学《轴对称图形》培优专题训练(含答案)

《轴对称图形》培优专题训练1运用线段的垂直平分线性质解题我们知道，线段的垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等;反过来，到线段两端的距离相等的点，在线段的垂直平分线上.运用线段的垂直平分线的性质，我们可以解决一些计算题和证明题.经典例题如图，P为AOB的平分线OC上任意一点，PEOA于E，PFOB于F，求证:OP是EF的垂直平分线.解题策略因为OP为AOB的平分线，PEOA，PFOB，所以PEPF(角平分线上的点，到角两边的距离相等)，因此P在EF的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上).在RtOEP和RtOFP中，,PEPFOPOP，所以OEPOFP且OEOF，所以O在EF的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上).所以OP是EF的垂直平分线.画龙点睛因为线段是轴对称图形，而且线段的垂直平分线是线段的对称轴.我们常利用线段的轴对称性质来证明线段的相等，也利用线段轴对称的判定方法来确定线段的垂直平分线.举一反三1.如图，等腰ABC中，,20ABACA.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则CBE等于().(A)80°(B)70°(C)60°(D)50°2.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，6AEcm，ABD的周长为20cm，求△ABC的周长.3.如图，在ABC中，45ABC，AD是BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，试求CAF的大小.融会贯通4.如图，RtABC中，90ACB，AB，CM是斜边AB的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，求A的大小.2与轴对称有关的作图本节包含两种类型的问题:一类是作出一个图形的关于一条直线的轴对称图形，此类问题比较简单;另外一类问题是用作轴对称图形的方法来解题，这类问题就比较复杂了.经典例题如图1，有一张矩形纸片ABCD，上面画有一个角的两边m、n，但是这个角的顶点P在纸片的外部，试在纸片上作出P的平分线来.解题策略作法:(1)在纸片上作直线hm;作n关于h的对称直线'n，'n与m交于'P;(2)作'P的平分线'p(3)作'p关于h的对称直线p.则p所在的直线也是P的平分线所在的直线.画龙点睛我们将例题这种类型的题称为不可及点作图问题，这个利用轴对称变换来解答的作法是解决不可及点作图问题的一般方法.举一反三1.如图，已知AOB与线段CD，求作一点P，使点P到CD的两端点距离相等，且到AOB两边的距离也相等.2.如图①，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图②、③中画出两种不同的拼法.3.如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是().融会贯通4.如图，已知三点,,ABC不在同一直线上，求作:(1)直线1l，使AB、两点关于直线1l对称;(2)直线2l，使AC、两点关于直线2l对称;(3)直线3l，使BC、两点关于直线3l对称.观察1l、2l、3l，你从中可以发现什么规律?3运用轴对称方法求最值有一类几何极值问题，可以运用轴对称的方法来解决，本节我们就来介绍这种方法.经典例题如图1，已知线段AB和直线EF(线段AB和直线EF不相交)，在直线上求一点C，使ABC周长最短.图1解题策略如图2，作点A关于EF的对称点'A，连结'AB交EF于点C，则点C为所求的点，此时，ABC的周长最短.事实上，如'C是EF上异于C的另外一点，如图3，连结'AC、''AC，由轴对称的性质有''ACAC，'''ACAC，于是'ACCBACCB''''ABACCB''ACBC，显然有ABC的周长'ABC的周长.也就是说ABC的周长最短.画龙点睛1.利用轴对称的方法，常可以化折线段为直线段，再结合“两点之间线段最短”的性质，就可以解决一类几何最值问题了.2.我们容易证得，当ACBC最短时，ACEBCF.这是一种最短线的等角性质，有一类台球问题也可以仿此解答.举一反三1.如图，已知直线MN和在MN异侧的两点A、B，在MN上求作一点P，使线段PAPB最大.2.如图，已知AOB内一定点P.试在OA、OB上各找一点M、N.使PMN周长最短.3.如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是.融会贯通4.在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，ABakm(1)a.现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d，且1dPBBA(其中BPl于点P);图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d，且2dPAPB(其中点'A与点A关于l对称，'AB与l交于点P).观察计算(1)在方案一中，1dkm(用含a的式子表示);(2)在方案二中，组长小宇为了计算2d的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2dkm(用含a的式子表示).探索归纳(1)①当4a时，比较大小:1d2d(填“”、“=”或“”);②当6a时，比较大小:1d2d(填“”、“=”或“”);(2)请你参考下面方框中的方法指导，就a(当1a时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二?方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时可以对它们的平方进行比较:因为，22()()mnmnmn，0mn所以22()mn与()mn的符号相同.当220mn时，0mn，即mn；当220mn时，0mn，即，mn；当220mn时，0mn，即mn4等腰三角形的性质与判定经典例题如图所示，若,,ABACBGBHAKKG，则BAC的度数为()(A)30°(B)32°(C)36°(D)40°解题策略设BACx.则由ABAC可得ABCACB，所以1802xABC.由BGBH可得GH，又2ABCGHG，所以1804xG.由AKKG得AG，即1804xx.解得36x，即36BAC，应选C.画龙点睛图中的几个与等腰三角形相关的角都可以用BAC的代数式来表示，因此可以建立关于BAC的方程，来解决此类问题.举一反三1.如图，ABC'中，ABAC，36A，BD、CE分别是角平分线，且相交于F，则图中的等腰三角形有()个.[来源:学§科§网](A)6(B)7(C)8(D)92.如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BDBE，BADBCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由.3.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若11223APPPPP…1314PP14PA，求A的度数.融会贯通4.如图，ABC中，ABAC，36A.仿照图1，请你再设计两种不同的分法，将ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形(图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明;要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数).5等腰三角形中的辅助线我们知道，等腰三角形是以底边上的高所在直线为对称轴的轴对称图形，故在解与等腰三角形有关的问题时，常要利用这个性质.经典例题如图1，从等腰直角ABC的直角顶点C向中线BD引垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE.求证:CDFADE.[来源:学科网ZXXK]图1解题策略注意到CDF在BCD中，ADE在ADE中，且CDAD，可设法在BCD中构造一个与ADE全等的三角形，因45A，可作BCA的平分线CG(即AB边上的高).如图2，作BCA的平分线交BD于G，因为,45BCACBCGA又90CBGCDFACE所以BCGCAE所以CGAE在CDG和ADE中，因为,45,CDADDCGACGAE所以CDGADE，因此CDFADE.画龙点睛等腰三角形是轴对称图形，作出它的对称轴即底边上的高来解题，是一种常见的作辅助线的方法.举一反三1.如图，在ABC中，若ABAC，AD为BC边上的高，E为AC边上的一点，且有AEAD，已知12EDC，则有B.2.如图，已知点C、D在ABE的边BE上，BCED，ABAE，求证:ACAD.3.如图，在等腰RtABC，90C，8AC，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持ADCE.连结DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论:①DFE是等腰直角三角形;c.②四边形CDFE的面积保持不变;③ADBEDE.其中正确的结论是().(A)①②③(B)①(C)②(D)①②融会贯通4.如图，在ABC中，80BAC，ABAC，O为ABC内一点，且10OBC，20OCA，求BAO的度数.6运用等腰三角形的性质解题当一个几何问题中出现了等腰三角形时，要充分利用等腰三角形的性质或者构造一个等腰三角形来解题.经典例题如图，过ABC的顶点A，作直线AE与B的内角平分线垂直相交于点E，与BC相交于点N，且与C的内角平分线相交于点P.过P作直线与底边BC平行，且与AB交于Q，与BE交于M，与AC交于R，求证:QRAQCR.解题策略因为//RPBC，CP是ACB的平分线，所以RCPNCPRPC，于是PRCR.同理QMBABE.因BEAN，90EABABE，90EPQEMP.但ABEQMBEMP，于是EABEPQ，故AQPQ.所以QRQPPRAQCR.画龙点睛在题目中出现了过角平分线上一点而又和角的一边平行的直线这样的基本图形时，就一定要注意到图形中出现了等腰三角形，利用这个等腰三角形进行计算或者证明，是解答此类问题的关键.举一反三1.如图，在ABC中，B与C的平分线相交于点D，过点D作//EFBC，分别交AB、AC于点E、F，14AB，20BC，16AC，那么，AEF的周长为()(A)34(B)38(C)30(D)252.如图ABAC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O.(1)求证:ADAE;(2)连结OA、BC，试判断直线OA、BC的关系并说明理由.3.如图，在凸五边形ABCDE中，BE，CD，BCDE，M为CD的中点.求证:AMCD.融会贯通4.如图，在ABC，100A，ABAC，BE是ABC的平分线.求证:AEBEBC.7等边三角形我们知道，等边三角形是最特殊的等腰三角形，它的三角相等，三边相等，有三条对称轴.常用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定一个三角形是等边三角形.经典例题如图1所示，已知ABC为等边三角形，D是BC线上一点，再延长BA到E，使AEBD，求证:CEDE.解题策略如图2，延长BD到F，使DFAB，连结EF.因为ABC为等边三角形，所以ABBCAC60BBACACB又因为BAAEBDDF，即BEBF所以△BEF是等边三角形.因此60FB，EFBE从而有EDFECB所以CEDE画龙点睛当题目中出现了含有60°的三角形时，常可构造一个等边三角形，然后从等边三角形中寻找新的结论.在本题中，是通过补图，把原图形补成一个等边三角形，得出有关三角形全等，从而证明线段的相等.举一反三1.如图，在等边ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CECD，10ABcm.求BE的长.2.如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CD上的点.(1)若ADB