复变函数教案-解析函数

1第7讲授课题目（章、节）1解析函数的概念教学目的与要求1、理解复变函数导数、微分和解析函数的概念2、掌握连续、可导、可微、解析之间的关系3、熟练应用求导法则4、能够利用定义来判别一些函数的解析性主要知识点1、导数、微分、解析的定义2、可导、连续、可微、解析之间的关系3、复变函数的求导法则4、函数解析性的判别重点和难点重点为复变函数微分、解析的定义难点是函数解析性的判别2教学内容解析函数是复变函数主要的研究对象。一个函数如果是解析函数，它就具有非常好的性质，在理论中也有广泛的应用。解析函数是复变函数的重要部分，也是以后学习的基础。§1.解析函数的概念一．复变函数的导数和微分1.导数的定义定义：设函数w=f(z)定义于区域D,0z为D中的一点，点0z＋z不出D的范围。如果极限000()()limzfzzfzz存在，那么就说f(z)在0z可导。这个极限值称为f(z)在0z的导数，记作00000()()d()limdzzzfzzfzwfzzz（2.1.1）也就是说，对于任意给定的0，相应地有一个()0,使得当0||z时，有000()()|()|fzzfzfzz。（备注：将定义用数学语言叙述出来，000()()0,0,0|||()|fzzfzzfzz当时，有）注：定义中，0zz0z的方式是任意的。极限值存在的要求与0zz0z的方式无关，这比一元实变函数的类似限制要严格得多。如果f(z)在D内处处可导，我们就说f(z)在D内可导。例1求2()fzz的导数（分析：目前对于导数只讲了定义，因此利用定义判别）解：由定义，0()()()limzfzzfzfzz220()limzzzzz0lim(2)zzz2.z故2()2zz例2.问()2fzxyi是否可导？（分析：要判断一个函数可导，还是利用定义判别。如果zz沿着不同的路径趋3向于z时，极限值不同，则该函数不可导。本题就是利用了这个思想，找了两个特殊的路径，平行于x轴和平行于y轴。对定义的注1，本题是一个很好的例子。）解：00()()limlimzzffzzfzzz0()2()2limzxxyyixyiz02limzxyixyi设zz沿着平行与x轴的直线趋向于z，则有02limzxyixyi0lim1xxx；设zz沿着平行与y轴的直线趋向于z，则有02limzxyixyi02lim2yyiyi；所以()2fzxyi的导数不存在。2.可导与连续定理：函数f(z)在0z处可导则在0z处一定连续，但函数f(z)在0z处连续不一定在0z处可导。（分析：先证可导一定连续，只需证明出000lim()()zfzzfz即可。从可导的定义入手。对于定理的后一部分，举个反例。）证：根据在0z可导的定义：0,0，使得当0||z时，有000()()(),fzzfzfzz000()()()()fzzfzzfzz令则0lim()0,zz00()()因为fzzfz0()(),fzzzz所以000lim()()zfzzfz即()fz在0z连续。[证毕]反例：函数()2fzxyi，容易发现此函数处处连续，但由例2，却处处不可导。1、求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的。求导公式与法则：(1)()0,.cc其中为复常数41(2)(),.nnznzn其中为正整数(3)()()()().fzgzfzgz(4)()()()()()().fzgzfzgzfzgz2()()()()()(5).(()0)()()fzfzgzfzgzgzgzgz(6)[()]()().()fgzfwgzwgz其中1(7)(),()(),()0()fzwfzz其中与是两个互为反函数的单值函数且4.微分的概念定义：设函数()wfz在0z可导，则000()()()()wfzzfzfzzzz，式中0lim()0zz，()zz是z的高阶无穷小，0()fzz是函数()wfz的改变量w的线性部分。0()fzz称为函数()wfz在点0z的微分，记作0()dwfzz函数在如果0z的微分存在，则称函数()fz在0z可微。特别的，当()fzz时有0dwdzf(z)zz，所以00d()()dwfzzfzz，即00d()dzzwfzz如果函数()fz在区域D内处处可微，则称()fz在区域内可微。函数()wfz在0z可导与在0z可微是等价的。二、解析函数的概念1.解析函数的定义如果函数()fz在0z及0z的领域内处处可导，那么称()fz在0z处解析。如果函数()fz在区域D内每一个点解析，则称()fz在区域D内解析，或者称()fz是区域D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）。2.奇点的定义如果函数()fz在0z处不解析，那么称0z为()fz的奇点。说明：根据定义可知：函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念。即函数在一点处可导不一定在该点处解析，函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多。5例3研究函数2(),()2fzzgzxyi和2()hzz的解析性。（分析：由例1知，函数2()fzz在复平面内处处可导，因此此函数在复平面内解析。由例2知，g(z)x2yi在复平面内处处不可导，因此此函数在复平面内处处不解析。对函数2()hzz，先计算出hz，然后求极限，判断是否可导。）解：由本节例1和例2知，2()fzz在复平面内是解析的，()2gzxyi在复平面内处处不解析。下面讨论2h(z)z的解析性00()()hzzhzz2200zzzz0000()()++-=zzzzzzz00,zzzzz0(1)0,z000()()lim0.zhzzhzz0(2)0,z0000(),zzyykxxz令沿直线趋于zzxiyxiy11yixyix11ikik由于k的任意性，11zkizki不趋于一个确定的值，所以000()()limzhzzhzz不存在。因此2h(z)z仅在0z处可导，而在其他点都不可导，根据定义，他在复平面内处处不解析。例4研究函数1wz的解析性（分析：对于此函数，可直接求导，但要保证分母不为零。）解：因为1wz在复平面内除0z处处可导，且2d1dwzz，所以w在复平面内除0z外处处解析，0z是它的奇点。定理（1）在区域D内解析的两个函数()fz与()gz的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。（2）设函数()hgz在z平面上的区域D内解析，函数()wfh在h平面上的区域G内解析，如果对D内的每个点z，函数()gz的对应值h都属于G，那么复合函数6[()]wfgz在D内解析。以上定理的证明，可利用求导法则.根据定理可知:（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。（2）任何一个有理分式函数()()PzQz在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。（可续页）7本讲小结本节讲了导数、微分、解析的概念和三者之间的关系。解析函数的概念为本节重点。其中，例1和例2加深了对导数定义的理解，且例2又能说明可导与连续的关系。例3和例4可以加深对解析定义的理解。思考题及作业题思考题复变函数()fz在点0z可导与在0z解析有无区别？作业题：p66页1（2），2（1）(3)，3（2）(3)，4课后预习要点1．柯西－黎曼方程2．函数在区域D内解析的充要条件。