复变函数教案5.1

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学课题：第一节解析函数的洛朗展式教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点：掌握洛朗级数的展开方法教学难点：掌握洛朗级数的展开方法教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。教学过程：1、双边幂级数在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数...)(...)()(0202010nnnzzzzzz其中,...,...,,,100nz是复常数。此级数可以看成变量01zz的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R。如果Ro，那么不难看出，此级数在Rzz1||0内绝对收敛并且内闭一致收敛，在Rzz1||0内发散。同样，如果R，那么此级数在0||0zz内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在0zz没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在0||)0(1||010zzRRRzz及内收敛于一个解析函数。2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数,)(0nnnzz这里,...)2,1,0(,0nzn是复常数。当级数,)()(1000nnnnnnzzzz及都收敛时，我们说原级数nnnzz)(0收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。设上式中第一个级数在20||Rzz内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在10||Rzz内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别20||Rzz及10||Rzz在内解析。又设21RR，那么这两个级数都在圆环201||:RzzRD内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数nnnzz)(0在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。我们称级数nnnzz)(0为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数，我们也有定理5.1（洛朗级数）设函数f(z)在圆环：)0(||:21201RRRzzRD内解析，那么在D内,)()(0nnnzzzf其中，,...)2,1,0(,)()(2110ndzfinn是圆,||0zz是一个满足21RR的任何数。证明：设z是圆环D内任一点，在D内作圆环'||':'201RzzRD，使得'Dz，这里2211''RRRR。用'2'1及分别表示圆'||'||2010RzzRzz及。由于)(f在闭圆环'D上解析，根据柯西定理，有'1'2)(21)(21)(dzfidzfizf，其中积分分别是沿'2'1及关于它们所围成圆盘的正向取的。当'2时，级数010000000)()(111)(11nnnzzzzzzzzzzz一致收敛；而当'1时，级数0100000)()()1)((11nnnzzzzzzzzz一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f(z)有展式,)()(0nnnzzzf其中，,...)2,1,0(,)()(21'210ndzfinn,...)2,1(,)()(21'110ndzfinn由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解1、由于函数f(z)的解析区域不是单连通区域，所以公式,...)2,1,0(,)()(2110ndzfinn不能写成：.!)(0)(nzfnn注解2、我们称00)(nnnzz为f(z)的解析部分，而称10)(nnnzz为其主要部分。注解3、我们称,)(0nnnzz为f(z)的洛朗展式。定理5.2设洛朗级数nnnzz)(0在圆环)0(||:21201RRRzzRD中内闭一致收敛于和函数g(z)，那么此展式就是g(z)在D内的洛朗展式：.)()(0nnnzzzg证明：现在把系数用g(z)计算出来。在D内任取一圆)(|:|210RRzz，用乘10)(21kzzi以定理中展式的两边，然后沿求积分。由于所讨论的级数在上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有,...)2,1,0()(21)()(211010kdzzzidzzzzgikknkk这里因为上式中求和记号后各项只有在n=k时不为零，因此定理的结论成立。注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明，g(z)在D内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理：推论5.1在定理5.1的假设下，f(z)在D的洛朗展式式唯一的。例1、求函数)2)(1(1zz分别在圆环1|z|2及||2z内的洛朗级数展式。解：如果1|z|2，那么,1|1|,1|2|zz利用当1||时的幂级数展式......1112n我们得1121)2)(1(1zzzz;12)11(1)21(21101nnnnnzzzzz如果||2z，那么,1|1|,1|2|zz同样，我们有1121)2)(1(1zzzz11112112121.21(1)(1)nnnnnnnnzzzzzzz例2、2sinzz及zzsin在||0z内的洛朗级数展式是：...)!12()1(...!5!31sin1232nzzzzzznn...)!12()1(...!5!31sin242nzzzzznn例3、ze1在||0z内的洛朗级数展式是：...1!1...1!211121nzznzze。例4、求函数)3)(1(12zz在圆环1|z|3内的洛朗级数展式。解：由于1|z|3，那么,1|3|,1|1|zz利用当1||时的幂级数展式......1112n我们得)1331(81)3)(1(122zzzzz)13131(8122zzzz，而;331)31(31310nnnzzz;11)11(111022222nnzzzzz所以，有2121220001113().(1)(3)83nnnnnnnzzzzz