复变函数教案4.2

第四章教学课题：第二节幂级数教学目的：1、理解幂级数的收敛性；2、充分理解幂级数的收敛半径、收敛域的意义；3、切实掌握幂级数和函数的解析性。教学重点：幂级数和函数的解析性；教学难点：幂级数和函数的解析性。教学方法：启发式、探究式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：幂级数是一种简单解析函数项级数，把解析函数表示为简单的幂级数，不仅有理论上的意义，更有实际的意义。教学过程：1、幂级数的敛散性：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数...)(...)()()(020201000nnnnnzzzzzzzz其中z是复变数，系数n是任何复常数。注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义；注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；注解3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：定理4.10如果幂级数00)(nnnzz在)(01zz收敛，那么对满足||||010zzzz的任何z，它都不仅绝对收敛，而且内闭一致收敛。证明：由于幂级数00)(nnnzz在)(01zz收敛，所以有0)(lim01nnnzz，因此存在着有限常数M，使得,...)1,0(|)(|01nMzznn。把级数改写成nnnnzzzzzz001001)(则有,|)(||)(|010010010nnnnnnnMkzzzzMzzzzzzzz其中已令,010kzzzz由于级数,0knMk收敛，所以此幂级数在满足||||010zzzz的任何点z不仅收敛，而且绝对收敛。注解：与幂级数00)(nnnzz相对应，作实系数幂级数...||...||||||||22100nnnnnxxxx其中x为实变数。则有推论4.11如果幂级数00)(nnnzz在)(01zz发散，那么对满足||||010zzzz的任何z，它都发散定理4.11设的收敛半径0||nnnx是R，那么按照不同情况，我们分别有：(1)、如果R0，那么当Rzz||0时，级数00)(nnnzz绝对收敛，当Rzz||0时，级数00)(nnnzz发散；（2）如果R，那么级数00)(nnnzz在复平面上每一点绝对收敛；（3）如果R=0，那么级数00)(nnnzz在复平面上除去0zz外每一点发散。证明：（1）先考虑R0的情形。如果Rzz||01，那么可以找到一个正实数1r，使它满足Rrzz101||。由于级数0||nnnx在1rx时绝对收敛，所以级数00)(nnnzz在10rzz时绝对收敛，从而它在1zz时也绝对收敛。如果Rzz||01，那么可以找到一个正实数2r，使它满足Rrzz201||。假定级数00)(nnnzz在2zz时收敛，那么级数0||nnnx在2rx时也收敛，与所设相矛盾。（2）如果R，则对任何实数x，级数0||nnnx都绝对收敛。如果rzz||01，由于级数0||nnnx在rx时绝对收敛，所以级数00)(nnnzz在rzz0时绝对收敛，从而它在1zz时也绝对收敛，由于1z的任意性，那么级数00)(nnnzz在复平面上每一点绝对收敛；（3）如果R=0，则对任何实数0x，级数0||nnnx都发散。若存在一个复数)(01zz，使得001)(nnnzz收敛，则由定理3.1，当||||010zzzz时，00)(nnnzz绝对收敛，即00||||nnnzz收敛，所以存在0x，使得0||nnnx收敛，与假设矛盾。注解1、当R0时，对于Rzz||0，级数00)(nnnzz的敛散性不定。注解2、和数学分析中一样，定理3.2中的)0(RR称为此级数的收敛半径；而Rzz||0称为它的收敛圆盘。当R时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面。当R=0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点0z。注解3、因此，求00)(nnnzz的收敛半径的问题归结成求0||nnnx的收敛半径的问题。和数学分析中一样，常见情况下，可以用达朗贝尔法则或柯西法则求出。对于一般情况，则可用柯西-阿达马公式求出，因此，有下面的定理：定理4.12如果下列条件之一成立：（1）|,|lim1nnnl（2）,||limnnnl（3）,||limnnnl那么当（1）l0时，级数00)(nnnzz的收敛半径lR1；（2）当0l时，R；（3）当l时，0R。注解1、公式（3）中的l总是存在的。注解2、（上极限的定义）已给一个实数序列}{na。数),(L满足下列条件：任给0，（1）至多有有限个Lan；（2）有无穷个Lan，那么说序列}{na的上极限是L，记作,limLann如果任给0M，有无穷个Man，那么说序列}{na的上极限是，记作,limnna如果任给0M，至多有有限个Man，那么说序列}{na的上极限是，记作.limnna注解3、（柯西-阿达马公式的证明）设l0，任取定z’，使得lzz1|'|0。可以找到0，使得)2(1|'|0lzz。又由上极限的定义，存在着N0，使得当nN时,||lnn从而nnnllzz)]2/()[(|'|||0因此级数00)(nnnzz在'zz时绝对收敛。由于'z的任意性，得到此级数在lzz1||0内绝对收敛。另一方面，任取定z，使得lzz1||0。可以找到)2/,0(l，使得)2(1||0lzz。又由上极限的定义，有无穷多个n，满足lnn||，即满足nnnllzz)]2/()[(||||0因此级数00)(nnnzz在zz时发散，从而此级数在lzz1||0内发散。注解4、幂级数00)(nnnzz的和是收敛圆内有定义的一个函数，我们称为和函数。定理4.13设幂级数00)(nnnzz有收敛圆盘Rzz||0。那么在Rzz||0内，它内闭一致收敛；它的和函数...)(...)()()(0202010nnzzzzzzzf解析，并且,...)3,2,1(...)(!1)!1(!)(01)(nzznnzfnnn证明：我们只需证明00)(nnnzz在收敛圆盘Rzz||0内闭一致收敛即可。设E是这个圆盘内的任意一个紧集。于是存在着0rR，使得E包含在闭圆盘rzz||0内。于是当Ez时nnnnrzz||||||0因为0||nnnr收敛，所以00)(nnnzz在E上一致收敛，因此它在收敛圆内闭一致收敛。注解：幂级数在收敛圆周的收敛与发散不定。例1、级数......1112nzzzz的收敛半径是1。注解1、由柯西准则我们可以证明，复数项级数收敛的一个必要条件也是其通项趋近于0。注解2、例1中的幂级数在|z|=1上通项不趋近于0，所以发散。例2、级数111)1()1(nnnnnz的收敛半径是1。在收敛圆|z|=1上，有)1(1|)1()1(|11nnnnznn，而级数)1(1nn收敛，所以此幂级数在收敛圆周上处处收敛。注解：下面将要证明，例2中幂级数的和函数等于zd0)01(ln)1ln(它在|z|=1上，除去z=-1外，处处解析。3、幂级数和的解析性定理4.14（1）幂级数00)(nnnzz的和函数f(z)在气收敛园)0(:RRaZK内解析；（2）在K内幂级数可以逐项求导至任意阶；（3）)3,2,1(!)()(ppafcpp