第三章-等参单元

船舶结构有限元分析FiniteElementAnalysisofShipStructure上海海事大学商船学院江国和第三章等参单元3.1等参单元的引入采用等参变换的单元称之为等参单元，即单元几何形状的变换和单元内的场函数，采用相同数目的节点参数，及相同的插值函数进行变换。基本思想：现在具有规则形状的单元（区域）上构造位移插值函数，然后把这个具有规则形状的坐标变换映射为物理平面上的一个形状比较复杂的单元，因而，等参单元也被称为映射单元。3.2四节点矩形双线性单元3.21位移插值函数对于某些有规则边界的区域，可以把所讨论的区域划分成若干个矩形单元，设一个中心位于坐标原点，变长为2的正方形，如图取正方形的四个角点作为单元节点，单元的位移模式为xyyxvxyyxu87654321式中所示的位移插值函数的特点：固定x，它是y的线性函数；固定y，它是x的线性函数。因而，我们称它为双线性插值函数，把采用这种位移插值函数的四节点矩形单元称为矩形双线性单元。矩形双线性单元有着常应变三角形单元所不具有的反映单元弯曲变形的能力，从而计算精度有望提高。由于上式满足常应变准则即完备性条件，又满足位移连续性条件即协调性条件。因而，矩形双线性单元是完备的协调单元。3.2.2形函数的确定建立以节点位移为基本未知量的有限元方程，把u和v表示成形函数与节点位移乘积之和的形式形函数确定的条件：（1）每个形函数都仍然是坐标的双线性函数；（2）Ni在结点i处等于1，在其他节点处等于0。4141iiiiiiuNvuNu根据条件2，可得根据矩形单元各个节点的坐标，可将形函数Ni统一表示为（i=1,2,3,4）对任意双线性函数f(x,y),都有为f(x,y)在节点i的值，分别取f(x,y)=1，f(x,y)=x和f(x,y)=y，得：yxNyxNyxNyxN11411141114111414321yyxxNiii114141,iiifNyxfif414141,1iiiiiiiiyNyxNxyxN形函数是定义在给定单元上的，所以上式对单元的每一点（x,y）都成立。单元内一点的坐标通过单元节点坐标的表达式，即坐标插值函数。位移插值函数和坐标插值函数具有完全相同的构造，都是以节点处的函数值作为参数，并具有相同的形函数。因而矩形双线性单元也是一种等参数单元。),(iiyx3.2.2矩形双线性单元的完备性和协调性完备性：所采用的位移插值函数的确能反映任意给定的刚体位移和常应变，简称为满足常应变准则或完备性条件上式是任何等参数单元满足常应变准则的充分必要条件414141,1iiiiiiiiyNyxNxyxN协调性：只要相邻单元在其公共边界上具有共同节点，相邻单元间公共边界上任一点的位移就必定相同，所以位移连续条件（即协调性条件）得到满足。在x=1边界上，N1=0，N4=0，有同理，在x=1的边界有。可知，矩形双线性单元的边界在手里变形后，仍保持为直线边界。此协调性论证适用于任何等参单元。)1(2)1(21)1(21),1(),1(),1(232323322yuuuuyuyuyNuyNyuyvvvv122323.3四节点四边形等参单元前面介绍的四节点矩形双线性单元只适用于规则区域。本届介绍可用于不规则区域的四节点任意四边形单元。3.3.1四节点任意四边形单元对任意四边形单元，不能再直接采用双线性插值函数。通过适当的坐标变换，把物理平面（xy平面）四边形单元变换成ζη平面上以坐标原点为中心的边长为2的正方形单元，xy平面上的节点1，2，3，4分别对应正方形单元的节点1，2，3，4。如图所示对于a所示的四边形单元，将各边的等分点用之线连接，并规定它与局部坐标系下单元的相应对边、等分点的连线对应，这样，就建立了图a所示四边形单元和图b所示正方形单元个点间的一一对应关系。3.3.2自然坐标系下的位移插值函数自然坐标系下的位移插值函数：式中形函数（i=1,2,3,4）有可知，插值函数在自然坐标系下满足常应变准则和协调性条件4141,,iiiiiiuNvuNuiiiN1141,414141,,,1iiiiiiiiNNN3.3.3坐标变换整体坐标和自然坐标之间的坐标变换关系式：由形函数在节点i为1，在其他节点为0的性质可知，上式把正方形的四个顶点变换成整体坐标下的节点（Xi，Yi）。其次，考察母单元某一条边，如12边η=-14141,,iiiiiiyNyxNx2121431211211211210,0yyyxxxNN上式是一条以ξ为参数的直线方程，因而变换式把母单元的12边变换成整体坐标下连接节点的直边。对其他边也有同样结论。位移插值公式和坐标变换公式具有完全相同的构造，因此这种四节点任意四边形单元也是等参单元，简称为四节点等参数单元，在整体坐标下也必然满足常应变准则。位移插值函数在自然坐标系下的协调性自动保证了坐标变换式的合理性及位移插值函数在整体坐标系下的协调性今后，对每个单元，我们把立足点放在自然坐标上，一切计算都转换到自然坐标系下进行位移插值函数可用矩阵记号记为：3.3.4应变矩阵B建立对平面应力问题eNvuvuNNNNNNNNvuf44114321432100000000exyyxBvuxyyx00上式B是一个三行8列矩阵（i=1，2，3，4）利用复合函数求导法则，得写成矩阵形式，xNyNyNxNBiiiii00yyxxyyxxyxJyxyxyx式中坐标变换矩阵（雅可比矩阵）由矩阵求逆法则得式中41414141iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ41414141111iiiiiiiiiiiixNxNyNyNJxxyyJJxyyxJ3.3.5应力—应变关系S=DB为应力矩阵3.3.6单元刚度矩阵及等效节点载荷1.面元变换公示自然坐标系下的无限小面积元，经过坐标变换式变换为整体坐标系下无限小平行四边形，如图eezyxSDBD变换后微元面积记为dA，则2.单元刚度矩阵把积分区域变换到自然坐标系平面上的相应区域ddJddyxyxdAdyydxxdydydxdxxdyydxdA,,dtdJDBBKDBtdxdyBKTeATe1111A—单元所占区域t—单元厚度3.等效节点载荷dtdJQNPTeQ1111讨论作用在单元边界上的表面里引起的等效节点载荷1112211122111211112122111212121414141400002,12tdPlPtdPlPtdPlPtdPlPPNPNPNPNQNdldslsQtdsNPyeyxexyeyxexyxyxTTeQ在12边上，η=-1，N3=0,N4=03.3.7等参变换的条件为了确保坐标变换式能确定整体坐标与自然坐标间一一对应关系，要求：所以，为保证等参数变换得以进行，所谓的任意四边形所有内角都必须小于180°当内角接近180°，丨J丨接近与零，因为丨J丨出现在求逆矩阵的分母，将导致计算误差迅速增大，因而计算实践不应使四边形单元过于歪斜。0,J3.4等参单元的收敛性为了保证协调性，相邻单元在这些公共边（或面）上应有完全相同的节点，同时每一单元沿这些边(或面)的坐标和未知函数应采用相同的插值函数加以确定。关于单元的安全性，对于型单元，要求插值函数中包含完全的线性项，本章讨论的所有单元在自然坐标中是满足此要求的。研究经过等参变换后，笛卡尔坐标下有：将上式代入，就得到单元内的函数表达式可以看出，如果插值函数满足，说明单元满足完备性要求0C1,,,111111niiniiiiiiniiiniiiniiiniiiNdzcybxNadzcybxadzcybxaNzNzyNyxNx某些情况下，坐标插值多项式次数低于位移插值多项式，计算更为便捷，这样的单元称为次参数单元，如图为典型的二维次参数单元。坐标插值函数的阶数高于位移插值函数的阶数的单元，称为超参数单元，可以更准确的描述壳体的复杂几何形状3.5数值积分方法3.5.1插值求积法在求积区间[-1，1]上取n个分点ξi（i=1,2…n）,n个求积节点的分布可等距也可不等距，记根据节点上的函数值Fi，构造一个n-1次插值多项式Pn(ξ),使得，称为F(ξ)的插值多项式或拉格朗日插值多项式。写成如下形式：根据Ni(ξ)的性质可知),2,1(,niFFiiiinFPiniinFNP1niiiiiiiniiiN11211121记则有插值多项式可写为于是有若记就得到插值求积公式niw21iiiwwNiniiinFwwP1nniiiniiiinFHFHFHdFdwwHdFwwdPdF221111111111111式中的系数Hi(i=1,2,3…n)称为求积系数或加权系数。它的值与被积函数无关，只依赖于求积节点的个数和位置。当F(ξ)本身是次数不超过n-1的多项式时，即具有n个求积节点的插值求积公式至少具有n-1次的代数精确度。3.5.2高斯求积法对求积节点的位置予以优选，使插值求积公式对任何次数不超过2n-1次的多项式函数都精确成立。这时求积公式的最高代数精确度为2n-1次，称为高斯求积公式FPn设F(ξ)为次数不超过2n-1次的任意多项式，因此有只需要选取ξi(i=1,2,…，n)，使以下n个等式成立，则插值求积公式即为高斯求积公式。积分点的个数n，称为数值积分的阶1110nnnwPFdwFdwwdFnkkkiniii101111111111,,2,1,0,0nkdwk