电路分析-网络图论基础

第17章网络图论基础17.1网络的图17.2回路树割集17.3图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式17.4节点电压法17.5含VCCS电路的节点分析17.6割集法17.7回路法17.9表格法17.8改进节点法本章重点本章重点关联矩阵A，基本回路矩阵B，基本割集矩阵Q.回路，树，割集.矩阵形式的KCL，KVL.节点法列写电路方程.返回目录网络图论是数学的一个分支，是应用图论研究网络的几何结构及其基本性质的理论。研究对象实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的“图(graph)”。电路中的应用应用图论的基本概念建立便于计算机识别的列写电路方程的系统方法。17.1网络的图一、网络图论网络拓扑（topologicalgraph）:泛指线段和点之间的连接性质。i1i2i3i1i2i3抽象i1i2i3+-二端元件支路抽象电路图抽象图二、网络的图R2CLuSR1+-+-抽象抽象电路图抽象图（1）图G={支路，节点}①②１不含自环允许孤立节点存在名词（2）子图（subgraph）图G子图G1子图G2…（3）路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。（4）连通图（connectedgraph）：图G的任意两节点间至少有一条路经时称图G为连通图。有向图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。（5）有向图（directedgraph）有向图路经不连通连通返回目录17.2回路树割集一、回路（loop）（1）连通；（2）每个节点关联支路数恰好为2。253回路127589不是回路回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质12345678图G树支（treebranch）：属于树的支路。连支（link）：属于G而不属于T的支路。二、树（tree）树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：（1）连通；（2）包含G的所有节点；（3）不包含回路。树不唯一16个树T1树T2图G2367树支数bt=n-1连支数bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路（fundamentalloop））：每个回路中只包含一个连支，其余均为树支。1234567145树支数4连支数3单连支回路独立回路单连支回路独立回路以2，3，6，7为树支，分别加入1，4，5形成三个单连支回路三、割集（cutset）①4321②④③56（1）把Q中全部支路移去，将图分成两个分离部分；（2）保留Q中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：例闭合面与支路2，5，4，6相交①1②3④③图分成两个分离部分4256移去支路2，5，4，6①4321②④③56Q4:{1,2,5}Q3:{1,4,5}Q2:{2,3,6}①4321②④③56①4321②④③56例Q4:{1,5，3，6}①4321②④③56单树支割集（基本割集(fundamentalcutset）每个割集中只包含一个树支，其余均为连支。①4321②④③56Q3:{1,3,5,6}Q2:{3,4,5}Q1:{2,3,6}①4321②④③56①4321②④③56选1，2，4为树支的基本割集单树支割集独立割集单树支割集独立割集{1，2，3，4}是否组成割集？三个分离部分{1，2，3，4}割集4保留4支路，图不连通的。1234例11234例2{1，2，3，4}割集基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}基本回路和基本割集关系对同一个树（1）由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt。例由树支4确定的基本割集包含连支3、5，则连支3、5构成的单连支回路中一定包含树支4。4321561，2，4树支（2)由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl。例由连支6确定的单连支回路包含树支1，2，则由树支1，2所构成的基本割集中一定含有连支6。基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}4321561，2，4树支返回目录17.3图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式一、节点关联矩阵（nodeincidencematrix）A用矩阵形式描述节点和支路的关联性质aij=1有向支路j背离i节点-1有向支路j指向i节点0i节点与j支路无关关联矩阵Aa={aij}nb节点数支路数Aa=1234123456支节100-101-1-1001001100-100-11-10Aa=1234123456支节1-1000-110001-1-1001010-110-10设④为参考节点，划去第4行-1-10010A=123123456支节100-10101100-1称A为降阶关联矩阵(reducedincidencematrix)(n-1)b，表征独立节点与支路的关联性质645321①②④③按列列写按行列写各行不独立654321uuuuuuu支路电压654321iiiiiii设支路电流321nnnnuuuu节点电压矩阵形式的KCL矩阵形式的KCLAi=0632521641iiiiiiiii-1-10010100-10101100-1654321iiiiiiAi=0645321①②④③矩阵形式的KVL312133221nnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuu654321321101010001100110011nnnuuuuuAnTnuAT二、基本回路矩阵（fundamentalloopmatrix）B（2）支路排列顺序为先树(连)支后连(树)支。1支路j与回路i关联，方向一致-1支路j与回路i关联，方向相反0支路j不在回路i中bij=约定：（1）回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质B={bij}lb基本回路数支路数选4、5、6为树支，连支为1、2、3。123B=456123支路回路1-101001-11010=[Bt1]设矩阵形式的KVLT321654][][ltuuuuuuuuu01-1001BtBlBu=0123654T321654][][litiiiiiiiiBu=0可写成另一种形式0]1[lttuuBBtut+ul=0ul=-Btut654321uuuuuuuutl用树支电压表示连支电压。连支电压树支电压321100110010111001011iii3216543213232121iiiiiiiiiiiiiiiiB=[Bt1]1TTtBBlttiiiBlT1lttiBiT用连支电流表示树支电流。BTil=i矩阵形式的KCLKCL的另一种形式123654三、基本割集矩阵（fundamentalcutsetmatrix）Q约定：（1）割集方向与树支方向相同。（2）支路排列顺序先树(连)支,后连(树)支。qij=1j支路与割集i方向一致-1j支路与割集i方向相反0j支路不在割集i中用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质Q={qij}n-1b基本割集数支路数Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}设矩阵形式的KCLQ=456123支路割集Q1Q2Q3100-1-1001011-10010-11QlQtQi=0选4、5、6为树支，连支为1、2、3。123654T321654][][ltuuuuuuuuuT321654][][litiiiiiiii0]1[ltliiQlltiQi用回路矩阵表示时lttiBiT用连支电流表示树支电流矩阵形式的KCL的另一种形式Qi=0可写成ltltiiQQ][TtlBQ可见，回路矩阵和割集矩阵有的关系。3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuutltltuQuQuuuTT1][tlluQuT矩阵形式的KVL用树支电压表示连支电压。QTut=uKVL的另一种写法123654QQi=0QTut=u小结：lttiBiTul=-BtutlltiQitlluQuTTtlBQABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=0矩阵形式的KCL，KVL返回目录17.4节点电压法KCLAi=0KVLu=Atun元件特性方程条支路电压：第条支路电流：第kUkIkk：独立电流源：独立电压源kkIUSS规定每个支路必须有一个阻抗设标准支路(k支路）为kUkISkUSkIkIe-kY-k支路抽象为k列方程依据Yk：导纳：阻抗元件电流kIek支路电压、电流关系：kkkkkUIIZUSS)(设T21bIIIIZ=diag[Z1Z2Zb]Y=diag[Y1Y2Yb]kkkkkIUUYISS)(T21bUUUUTS2S1SSbUUUUTS2S1SSbIIIIZ=Y-1kUkISkUSkIekI-kY-SSIUYUYIbkbbkkbkbkIIIUUUUUUYYYIIISS1SSS1S11100000000000000000000支路电流的矩阵方程为b条支路电压与电流关系的矩阵形式为由KCLAi=0由KVLu=Atun0SSIAUYAUYAIA0SSTIAUYAUAYAn节点导纳阵（nodeadmittancematrix）TAYAYn令SSUYAIAUYnn得节点电压方程由此求得支路电压和电流nUUnUATISSIUYUYI可得（1）画有向图。（2）110100001110100011A5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-例1列写图示电路的节点电压方程。1①23456②③0解（4）TS000005U（5）TS031000ISSUYAIAUYnn-（6）311042127.25.015.05.3321nnnUUU得（3）110.220.52diagYkUSkISkUkIekI-kY-5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-1①23456②③05432100000j100000jj000jj00000RCLMMLRZ101000111000011A例2列写图示电路的节点电压方程。+R5R1L2L3C4M1SI5SU12345①②③0TSS50000UUTSS10000II[Y]=[Z]-1