由先序和后序遍历求解符合条件的n叉树个数的方法及程序实现

第1页共4页由先序和后序遍历求解符合条件的n叉树个数的方法及程序实现福建省晋江市养正中学张昱峥我们都了解二叉树的先序遍历、中序遍历和后序遍历，当知道先序遍历和中序遍历的结果时，可以唯一的确定二叉树;同样的，当知道后序遍历和中序的结果时，也可以唯一的确定二叉树。但是如果只知道先序遍历和后序遍历的结果时，二叉树就不是唯一的了，但是我们可以计算满足条件的不同二叉树的个数。同样，我们可以将问题推广到N叉树。下面我们以例题进行分析。例一：已知二叉树的先序遍历为：abc，后序遍历为：cba，求满足条件的二叉树的个数。分析：首先容易得出二叉树的根结点一定是a，再由剩下的先序遍历结点序列bc（第一个结点为b）和后序遍历结点序列cb（最后一个结点为b），可知结点bc共同组成根结点a的一个子树，且其中结点b一定是该子树的根结点。这个子树可以是根结点a的左子树，也可以是右子树。如下图所示：所以，满足条件的二叉树的个数sum至少为2（sum=2）。又因为对于结点bc来说，c不管是其左结点还是右结点，都满足先序和后序遍历的要求。因此满足条件的二叉树的个数sum=sum*2=2*2=4。其形状如下图所示：例二：已知10叉树的先序遍历为：abc，后序遍历为：bca，求满足条件的10叉树的个数。分析：首先容易得出二叉树的根结点一定是a，再由剩下的先序遍历结点序列bc和后abcabcabcabcabcabc第2页共4页序遍历结点序列bc完全相同，可知结点bc不能组成根结点a的一个子树，结点b和c只能是根结点a的叶结点，并且结点b一定处于结点c的左边。因为是10叉树，所以根结点a可以有10个子结点，设编号为1~10，则结点b和c的编号可以是：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,7)、(1,8)、(1,9)、(1,10)、(2,3)、(2,4)、……，由组合数知识可知符合条件的共有C210=45种。例三：已知13叉树的先序遍历为：abejkcfghid，后序遍历为：jkebfghicda，求满足条件的13叉树的个数。分析：首先容易得出二叉树的根结点一定是a，再由剩下的先序遍历结点序列bejkcfghid（第一个结点为b）和后序遍历结点序列jkebfghicd（最后一个结点为d），其首尾结点不一样，可知结点集合{bejkcfghid}不可能构成根结点的一个子树，也就是说，根结点a的子树至少为2个，且第1个子树的根结点必为b（由剩下的先序遍历结点序列bejkcfghid可得），再由剩下的后序遍历结点序列jkebfghicd可知，第一个子树由结点集合{jkeb}组成；而在先序遍历结点序列bejkcfghid中位于第一个子树结点集合{bejk}后的第一个结点是c，因此可推导出第二个子树的根结点必为c，再由后序遍历结点序列jkebfghicd可知其结点集合为{cfghi}；同理可得第三个子树的结点集合为{d}，因此，根结点a的有3个子树，因为是13叉树，所以这3个子树的形态有C313种组合方式。第一个子树由先序遍历结点序列bejk和后序遍历结点序列jkeb组成，设符合条件的子树数为m1；第二个子树由先序遍历结点序列cfghi和后序遍历结点序列fghic组成，设符合条件的子树数为m2；第三个子树由先序遍历结点序列d和后序遍历结点序列d组成，因此d为叶结点，设符合条件的子树数为1；M1和m2的值求解同样也是由先序和后序遍历求符合条件的13叉树个数的问题，按照上述思路可递归实现，得m1=C113*C213，m2=C413，因此本题满足条件的13叉树的个数为：C313*m1*m1*1=C313*C113*C213*C413=207352860。总结：已知n叉树的先序和后序遍历，求符合条件的n叉树的个数，解题策略为：1、设符合条件的n叉树的个数为sum，初值为1;2、根据n叉树的先序遍历求出根结点，根结点的子树数为k（初值为0），n叉树结点第3页共4页个数为m；3、找出先序遍历中根结点后一个结点和后序遍历中根结点前一个结点，如果这两个结点相同，则n叉树只有一个子树(k=1)，从树的形态上讲，这个子树可以是根结点的第1个子树或第2个子树……或第n个子树，因此共有sum=C1n=n种；3、如果这两个结点不相同，则说明根结点存在多个子树；从后序遍历的第一个结点开始找与先序遍历中根结点后一个结点相同的结点，并记下位置t1，则后序遍历1~t1之间的结点和先序遍历2~t1+1之间的结点构成了根结点的第一个子树(k=1)；接着从后序遍历的第t1+1个结点开始找与先序遍历中第t1+2结点相同的结点，并记下位置t2，则后序遍历t1+1~t2之间的结点和先序遍历t1+2~t2+1之间的结点构成了根结点的第二个子树（k=2）；若t2+1m，则根结点还有其它子树，按上述方法重复查找，直到t2+1=m。则根结点的k个子树全部确定，其形状排列方式共有sum=Ckn种；4、若根结点的k个子树只有一个结点，则结束求解，否则对根结点的k个子树按本解题策略分别进行递归求解，求解其符合条件的子树的个数sum1、sum2、sum3……、sumk；则sum=Ckn*sum1*sum2*……*sumk。附参考程序：输入：第一行是一个正整数n，表示n叉树，第二行和第三行分别是两个字符串，分别表示先序遍历和后序遍历的结果。输出：输出不同的n叉树的数目，程序输入的数据要保证得到的结果小于231。varstr1,str2:string;n:integer;com:array[1..100,0..100]oflongint;proceduregetcom;{根据组合公式Cmn=C11mn+Cmn1，递推产生组合数}vari,j:integer;beginfori:=1tondobegincom[i,0]:=1;com[i,i]:=1;end;fori:=2tondoforj:=1toi-1docom[i,j]:=com[i-1,j]+com[i-1,j-1];fori:=1tondobegin第4页共4页forj:=1toidowrite(com[i,j]:8);writeln;end;end;functioncount(a,b,c:integer):longint;varsum:longint;k,s,t,p:integer;beginsum:=1;k:=0;s:=a+1;t:=c;if1=bthencount:=1elsebeginwhiles=b+a-1dobeginp:=t;whilestr1[s]str2[t]doinc(t);sum:=sum*count(s,1+t-p,p);s:=s+t-p+1;inc(t);inc(k);end;count:=sum*com[n,k];end;end;varlen:integer;beginreadln(n);readln(str1);readln(str2);getcom;len:=length(str1);writeln(count(1,len,1));readln;end.