线性系统理论大作业2

2摘要：本文主要讨论线性系统解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。这一关系从两个方面来说明，第一部分讲述系统解集几何结构与特征值和特征向量之间的关系，通过Matlab仿真例子说明这一关系；第二部分分别讲述特征值和特征向量与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系，并讲述了能观性，能控性以及稳定性的定义和判据，通过以约旦标准型为例来讲述相同特征值和不同特征值情况下的能观性，能控性，最后在Simulink中仿真一定特征值条件下系统的稳定性。从以上两个方面来说明解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。31.零输入响应解集与特征值和特征向量之间的关系线性定常系统状态方程xAxBuyCxDu，0(0),0xxt的解为()00()(),0tAtAtxtexeBudt。为了研究线性定常系统状态方程解集的几何结构与线性系统的特征之间的关系，将系统简化，只考虑系统为零输入的状态响应，即xAxyCx，0(0),0xxt的解为0()Atxtex。所有的零输入状态响应组成了一个线性空间，且该线性空间中有n个独立的元素，它们的线性组合决定了所有零输入响应。所以可以通过选择一组线性独立的初始条件得到一组零输入响应集中的基底。下面先考虑最简单的零输入状态响应集的基底。若12,,...n是A的两两互异的特征值，且12,,...nvvv是相应的单位特征向量，即,1,2,...iiiAvvin。选0,1,2,...ixvin，则0()(...)......iAtAti2233i2233iiii2233iiiiiiitixtexev11I+At+At+At+v2!3!11vAvtAvtAvt2!3!11vvtvtvt2!3!ev所以取01122...nnxvvv时，相应的零输入响应为121122()...ntttnnxtevevev由此可以看出线性定常系统的零输入响应解集的几何结构可以由系统矩阵A的特征值和特征向量来表征。即其解集由12,,...nvvv构成的n维坐标空间的线性组合。上述结论的Matlab仿真程序和结果如下：系统的状态方程为10122023xxuyx，取初始状态x(0)=α1*V1+α2*V2，其中V1、V2为特征值对应的特征向量。取[α1α2]=[14]。4打开MATLAB编辑器，编写如下程序，clearall;closeall;clc;A=[-10;2-2];B=[1;0];C=[23];D=[0];%设定系统的状态方程参数sys=ss(A,B,C,D);[b,a]=ss2tf(A,B,C,D);%状态方程转换成传递函数alpha=input('inputalpha:');%输入alpha参数[14][V,D]=eig(A);%利用eig函数求系统的特征值D与特征向量Vt=0:0.01:5;u=zeros(1,length(t));%输入为零x0=alpha(1)*V(:,1)+alpha(2)*V(:,2);%设定初始状态subplot(211);[y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0);t=0:0.01:5;plot(t,x);%绘制系统的零输入响应xlabel('时间t');title('原系统的零输入响应状态');gridon;%绘制以特征值对应的特征向量为基底的零输入响应的状态xz=alpha(1)*V(:,1)*exp(D(1)*t)+alpha(2)*V(:,2)*exp(D(4)*t);subplot(212);plot(t,xz);xlabel('时间t');title('以特征值对应的特征向量为基底的零输入响应的状态');gridon;输出结果如下图：由图可知，当系统的初始状态为系统特征值对应的特征向量的线性组合时，系统的零输入响应也是相应特征向量的对应线性组合。即当x(0)=α1*V1+α2*V2时，eAt*x(0)=α1*eλ1*t*V1+α2*eλ2*t*V2。2特征值、特征向量与系统特征之间的关系52.1系统能控性与系统特征值和特征向量之间的关系2.1.1能控性的定义状态空间中的任意两点x0，x1即x(t0)=x0，x(t1)=x1，若存在控制信号u(t)能将状态x(t)从t0时刻的x0在[t0，t1]中驱动到x1，则系统能控。2.1.2能控性判据对于系统()()()xtAxtBut,其响应为1000()()0()()tAttAtttxtexeBud(1)Wc矩阵为非奇异矩阵系统能控在t1时刻，110100()()10()tAttAtttxexeBud，设计控制器10()10()TAttTuBewu，则11010100()()()1100TtAttAttAttTtxexeBBewud=10()00Attexu假设110100()()TtAttAttTctWeBBed则10()010Attuxex若能保证Wc为非奇异矩阵，则能保证系统的能控性。这一命题的逆命题也成立，证明过程略。(2)矩阵C=[BABA2B…AN-1B]满秩系统能控(3)PHB判据:矩阵[A-λIB]满秩系统能控(4)AP+PAT=-BBT有唯一正定解系统能控(5)矩阵B中所有列张成的子空间不属于A的任意一个不变子空间系统能控不变子空间：若V是线性空间X的子空间，0vV是V中任意一个元素，若对所有0v，0AvV（A为矩阵）则V称为A的不变子空间。2.1.3特征值和特征向量与能控性的关系对于状态方程xAxBuyCxDu，由第一节中讨论可知，其零输入响应的解集是在由ξ1，ξ2，ξ3…组成的线性空间中。以下讨论以三阶系统为例说明能控性与特征值特征向量的关系。设初始条件为x（0）=α1*ξ1+α2*ξ2+α3*ξ3，若B=α1*ξ1+α2*ξ2，则定义：6121211221122112200112211220111212022()()()()TTttAtTAtAtTTAtctttttTTtTttttTweBBedteedteeeedteeedte由以上推导可知，cw不满秩，系统不能控。可以得出结论：B矩阵的方向决定了能控性。即能控性判据（5），（A,B）能控需要B中所有列张成子空间不属于A的任意一个不变子空间（以特征向量为基底的线性空间）。例如：对于系统100112112300xxu，A矩阵的特征值为λ1=-1λ2=-2,λ3=-3。对应的特征向量为ξ1=（100）T,ξ2=(010)T,ξ3=(0-11)T。B=（ξ1+ξ2ξ1+2ξ2），B的所有列张成子空间属于A的由ξ1=（100）T和ξ2=(010)T组成的不变子空间。根据以上结论可知，系统不能控。以下根据判据（2）来判断系统是否能控：（BABA2B）=111111122448000000不满秩，系统不能控，与以上结论一致。若B所有列张成的子空间属于A的某一个不变子空间，以下讨论对（A，B）进行能控分解。若（A，B）不能控，系统()()()xtAxtBut可分解为11122200cccccxxAABuxxA（1）当输入u=0，初始状态(0)(0)(0)0cccxxx时，则1112ccccxAxAxBu，从而11()(0)Accxtex。说明输入为零，初始状态落在能控子空间里，则状态响应在能控子空间里。（2）当出入u≠0，初始状态(0)(0)(0)0cccxxx时，则1111()0()(0)()tAAtcccxtexeBud，()0cxt。（3）当出入u≠0，初始状态(0)cx，(0)cx都不为零时，则111111()()1200()(0)()()ttAAtAtccccxtexeBudeAxd，722()(0)Accxtex说明初始条件不在特征向量张成子空间里，则状态响应不完全在能控子空间里。综上所述：当初始条件落在能控子空间，则一定能设计控制器使状态点到达预定点。2.1.4A的约旦标准型判断能控性要判断一个系统基于约旦标准型的能控性，必须考虑其约旦标准型和输入矩阵的形式，这里通过举例说明这种方法。如果A不是约旦标准型，则可以通过线性变换将A化为约旦标准型。对于系统.xAxBuyCx变换为约旦标准型1.xJxTBuyCTx我们可以求出系统矩阵A的特征值，来直接写出系统的约旦标准型矩阵J。当特征值无重根时，1200nJ当特征值有q个重根1时，111110100qnJ对于已经通过线性变换转化成约旦标准型的系统：当21lb0时，2是系统的能控模态；111111111211122112221.11lllbbbxxubbb8当11lb与12lb相互线性独立时，1是系统的能控模态。2.2系统能观性与系统特征值和特征向量之间的关系2.2.1能观性定义若在给定时间段[t0,t1]内，根据系统的输入输出信号可唯一确定系统的初始状态，则系统能观。2.2.2系统能观性判据对于系统xAxBuyCxDu，其响应为：()0()(0)()tAtAtxtexeBud系统输出为()0()(0)()tAtAtytCexCeBudDu(1)Wc矩阵为非奇异矩阵系统能观令()0()()()(0)tAtAtytytCeBudDuCex两边乘以TAtTeC得()(0)TTAtTAtTAteCyteCCex两边积分得00()(0)TTttATATAteCydeCCedx记00TtATAtWeCCed则100(0)()TtATxWeCyd以上推导说明：当W0为非奇异矩阵时系统能观。该命题的逆命题也成立，证明略。（2）能观性矩阵1nCCAOCA满秩系统能观。（3）矩阵AIC满秩系统能观。（4）方程00TTAWWACC有唯一的正定解系统能观。2.2.3特征值和特征向量与能观性的关系9对于状态方程xAxBuyCxDu，由第一节中讨论可知，其零输入响应的解集是在由ξ1，ξ2，ξ3…组成的线性空间中。以下说明能观性与特征值特征向量的关系。根据A的特征值来判断系统的能观性，如果A不是约旦标准型，则可以通过线性变换将A化为约旦标准型。如下例子可以说明，对于已经通过线性变换转化成约旦标准型的系统，1111111112111221122211111121121322211.11lllNNbbbxxubbbyCCCCCC当211C0时，2是系统的能观模态；当11NC与12NC相互线性独立时，1是系统的能观模态。不能观子空间：若x0是系统的初始状态从t0至t1，x0所产生的零输入响应为零，所有上述x0组成了一个子空间称为不能观子空间。例如：11122210,1011xxxyxxx，初始状态为1020()1()0xtxt，则11221x