第2章-弹性力学中的若干典型问题及基本解法的讨论

1如果所分析的弹性体具有某种特殊的形状、并且所承受的外力是某种特殊形式的外力，那么就可以把空间问题简化为相对简单的典型弹性力学问题进行求解。这样的处理可以简化分析计算的工作量，且所获得的结果仍然能够满足工程上的精度要求。第2章弹性力学典型问题及其基本解法本章首先对弹性力学的几个典型问题，包括平面问题、轴对称问题和板壳问题进行分析和讨论，进一步总结和归纳弹性力学的一般解法，包括位移法和应力法以及能量法。此外，还介绍了机械结构强度与失效的基本理论。平面问题弹性力学的基本解法强度失效准则2平面问题是工程实际中最常遇到的问题，许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求解。平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。2.1平面问题平面应力问题平面应变问题3平面应力问题的特征：（1）所研究的对象在z方向上的尺寸很小（即呈平板状）；（2）外载荷（包括体积力）都与z轴垂直、且沿z方向没有变化；（3）在z=±t/2处的两个外表面（平面）上不受任何载荷，如图2-1所示。yxtzyo2.1.1平面应力问题图2-1平面应力问题4在z=±t/2处的两个外表面上的任何一点，都有z=zx=zy=0。另外，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物体内任意一点的z、zx、yz都等于零，而其余的三个应力分量x、y、xy则都是x,y的函数。此时物体内各点的应力状态就叫做平面应力状态。z=0？在平面应力状态下，由于z=zx=zy=0，所以可以很容易得到平面应力问题的平衡微分方程2.1.1平面应力问题00YxyXyxxyyxyx（2.1）5平面应力问题的几何方程平面应力问题的物理方程Txyyxyuxvyvxuyuxvyvxu,,ε2.1.1平面应力问题（2.2）（2.3）xxyyxyxyD6式中，D为平面应力问题的弹性矩阵，具体为式中，E为弹性模量，为泊松比。另外，物理方程还可以写成如下形式2.1.1平面应力问题（2.4）（2.5）2101011002EDxyxyxyyyxxGEE1117平面应力状态下的三个应力不变量分别为因此，求解平面应力状态下主应力的方程为解出的平面应力状态下的主应力具体为式2.1.1平面应力问题（2.6）（2.8）1xyI22xyxyI30I32120II（2.7）21222122])[(,xyyxyx03平面应力状态下的主应力求解：8（1）如图2-2所示，当物体z方向上的尺寸很长；（2）物体所受的载荷（包括体积力）平行于其横截面（垂直于z轴）且不沿长度方向（z方向）变化，即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化，那么这类问题称为平面应变问题。2.1.2平面应变问题yox图2-2平面应变问题平面应变问题的特征：9对于平面应变问题，一般可假想其长度为无限长，以任一横截面为xy面、任一纵线为z轴，则所有应力分量、应变分量和位移分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x,y的函数。在这种情况下，由于任一横截面都可以看作是对称面，所以物体内各点都只能在xy平面上移动，而不会发生z方向上的移动。根据对称条件可知，zx=zy=0，并且由剪应力互等关系可以断定，xz=yz=0。但是，由于z方向上的变形被阻止了，所以一般情况下z并不等于零。2.1.2平面应变问题10在平面应变状态下，由于x、y、z及xy都只是x,y的函数，而xz=yz=0，且因外力都垂直于z轴，故无z方向的分量。由应力平衡微分方程式可以看出，其中的第三个方程能够自动满足，剩余的两个式子与式（2.2）相同。2.1.2平面应变问题对于平面应变问题，因位移分量都不沿z方向变化，且w=0，故有z=zx=zy=0，所以其几何方程与平面应力问题的几何方程相同。但是，由于z=0，因而平面应变问题的物理方程与平面应力问题的物理方程不同，即xyxyxyyyxxGEE11111（2.9）11式中的D矩阵与平面应力问题的弹性矩阵形式相同，但是需要将平面应力问题中的E用代替，用代替。对有些实际问题，例如挡土墙和重力坝的问题等，虽然其结构并不是无限长，而且在靠近两端之处的横截面也往往是变化的、并不严格符合无限长柱形体的条件。但是，这些问题很接近于平面应变问题，对于离开两端较远之处按平面应变问题进行分析计算，得出的结果可以满足工程要求。对于平面应变问题，可以用如下类似的矩阵表达式xxyyxyxyD2.1.2平面应变问题2/(1)E/(1)12在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，也就是过该轴的任一平面都是对称面，那么该弹性体的所有应力、应变和位移也都对称于这根轴。这类问题称为空间轴对称问题。对于轴对称问题，采用圆柱坐标r、、z比采用直角坐标x、y、z方便得多。这是因为，当以弹性体的对称轴为z轴时（如图2-3所示），则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与无关（即不随变化）。2.2空间轴对称问题13图2-3轴对称问题示意2.2空间轴对称问题rdrdzzdzCPABxyordrdrrrrdrzrzrrdzzzzdzrzrzzdzzrzrzzrPCRZAdrrrrryxdrdr(r+dr)do(a)（b）（c）14如图2-3（c）所示的微元体的内侧面的正应力是r，外侧面上的正应力近似为。由于对称，在方向（环向）没有增量。下侧面的正应力是z，上侧面的正应力近似为。内侧面和外侧面上的剪应力分别为rz及，下面及上面的剪应力则分别为zr及。径向体力用K表示，而轴向体力（z方向的体力）用Z表示。将该微元体所受的各力都投影到六面体中心的径向轴上，并取及，可得到如下力平衡关系式2.2空间轴对称问题drrrrdzzzzdrzrzrrdzrzrrrddsin2212dcosddddddd2dd2dddddddd0rrrzrzrzrrrrzrzrzrzrzrrKrrzz（2.10）平衡微分方程的推导：15化简，同时除以rddrdz，并略去微量，得轴对称问题的一个方向上的应力平衡微分方程式如下2.2空间轴对称问题0zKrrrrzr（2.11）将微元体所受的各力都投影到z轴上，则得力平衡关系式dddddddddddddd0rzzrzrzzzrrrzrzzrrrzrrZrrz（2.12）同样可以由上式导出另一方向上的应力平衡微分方程式0Zrrzzrzrz（2.13）综合起来得到如下空间轴对称问题的应力平衡微分方程：00ZrrzKrzrzrzrrrrzr（2.14）16如果用r表示沿r方向的正应变，即径向正应变；用表示沿方向的正应变，即环向正应变；而沿z方向的轴向正应变仍用z来表示。另外，r方向与z方向之间的剪应变用zr表示，由于轴对称特性，剪应变r及z均为零。沿r方向的位移分量，称为径向位移，用ur表示。沿z方向的轴向位移分量，仍用w表示，并且由于轴对称特性，环向位移u=0。根据几何方程的定义方法，可以得到由径向位移所引起的应变分量是2.2空间轴对称问题zurururrzrrr,,（2.15）轴向位移w引起的应变分量为rwzwrzr,（2.16）几何方程的推导：17由此得到空间轴对称问题的几何方程：2.2空间轴对称问题rwzuzwrururrrrzzr（2.17）空间轴对称问题的物理方程可以根据广义胡克定律直接推广到极坐标系得到，即rzrzrzrzzrzzrrEGEEE121111（2.18）18在弹性力学里，把两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体称为平板，简称为板，如图2-4。2.3板壳问题（1）薄板弯曲问题byzxot/2t/2图2-4薄板弯曲的几何示意图•2.3.1板壳问题简介两个板面之间的距离t称为板的厚度，而平分厚度t的平面称为板的中间平面，简称中面。如果板的厚度t远小于中面的最小尺寸b（如小于b/8～b/5），该板就称为薄板，否则就为厚板。19对于两个曲面所限定的物体，如果曲面之间的距离比物体的其它尺寸为小，就称之为壳体。2.3.1板壳问题简介（2）壳体问题在壳体理论中，有以下几个计算假定：①垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。②中面的法线总保持为直线，且中面法线及其垂直线段之间的直角也保持不变，即这两方向的剪应变为零。③与中面平行的截面上的正应力（即挤压应力），远小于其垂直面上的正应力，因而它对变形的影响可以不计。④体力及面力均可化为作用在中面的载荷。对于薄壳，可以在壳体的基本方程和边界条件中略去某些很小的量（一般是随着比值t/R的减小而减小的量），从而使得这些基本方程在边界条件下可以求得一些近似的、工程上足够精确的解答。202.3.2薄板弯曲问题的基本方程图2-5薄板弯曲时受到的弯曲力矩作用薄板受到弯曲力矩作用时的受力关系可用图2-5表示。（1）薄板弯曲的几何方程根据薄板的小挠度弯曲假设，薄板弯曲问题的全部应力和应变均可用板的中面的挠度w表示。根据假设①可知：薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移w。再由,根据几何方程得0,0zxzy,uzwxwyvz00（2.19）212.3.2薄板弯曲问题的基本方程（1）薄板弯曲的几何方程将上式对z积分，注意到都与z无关，可得。由于假设了薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即，可知（2.20）,wwxy00+(,),=+(,)wwuzuxyvzvxyxy0,000zzvu,=wwuzvzxy因为，进而得到如下几何方程，即薄板内各点不为零的三个应变分量是yuxvyvxuxyyx,，222.3.2薄板弯曲问题的基本方程（1）薄板弯曲的几何方程222222xyxywuxxvwzyyuvwyxxyε（2.21）式中，和分别称为薄板弹性曲面在x和y方向上的曲率,表示它在x和y方向上的扭率。22wx22wy22wxy232.3.2薄板弯曲问题的基本方程（2）薄板弯曲的物理方程（2.22）薄板弯曲问题的物理方程与薄板平面应力问题的物理方程是一样的，如下112(1),,xxyyyxxyxyEEE或者写成如下形式22222221010101011110000222xxxyyyxyxyxywxEEzwywxy