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几何概率在现代概率概念的发展中起到了非常重大的作用。曾经的一篇博客用概率来计算∏（德布封的针问题）就是一个例子。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。然而JosephBertrand在1888年提出的一个问题改变了人们的想法。在半径为1的圆内随机取一条弦，问其长度超过该圆内接等边三角形变长(根号3)的概率是多少？【解法1】由于弦交圆于两点。我们先固定弦的一个端点。以此端点做一个等边三角形(如图)。显然，只有穿过此三角形内的弦才符合要求。而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。并且，不论固定的那个端点在圆上的哪个位置，情况都是一样的。所以结果为1/3。【解法2】由于弦长只和圆心到它的距离有关。所以固定圆内一条半径。当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。所以结果为1/2。【解法3】弦被其中点唯一确定。当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。此小圆面积为大圆的1/4。所以结果为1/4。——————————————————————三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox。其实，这些结果都是对的。因为它们采用了不同的等可能性假定。解法一假定端点在圆上均匀分布。解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的。现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布。那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了。它们的分布情况如下：解法1的弦中点分布：PostedbyCharlesgao---概率统计(Prob&Stat)贝特朗奇论(Bertrand’sparadox)1解法1的弦分布：解法2的弦中点分布：2解法2的弦分布：解法3的弦中点分布：3解法3的弦分布：贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评大大推动了概率论向公理化方向的发展。4