机械电子系统的建模与控制

为什么要建立系统的数学模型？什么是数学模型？如何建立数学模型（建模方法）？2.1控制系统数学模型的概念研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就需要建立系统的数学模型。为什么建立系统的数学模型－Why？对系统的定性认识上升到定量的精确分析与设计的需要。2.1控制系统数学模型的概念什么是数学模型－What？系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型：微分方程传递函数时间响应函数频率特性状态空间模型……。2.1控制系统数学模型的概念数学模型微分方程传递函数频率特性时域复数域频域时间响应Bode图Nyquist图2.1控制系统数学模型的概念分析法：根据系统和元件所遵循的定律推导数学表达式。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，通过数据整理拟合出比较接近实际系统的数学表达式。物理模型VS.数学模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。如何建立数学模型（建模方法）（How）例如：牛顿运动定律、欧姆定律、克希霍夫定律；虎克定律；流体力学。2.1控制系统数学模型的概念2.2系统的微分方程一、系统的微分方程概念微分方程：在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型。2.2.1系统微分方程的建立步骤通常基于经典物理学定律而建立，同一个微分方程可以表述具有相同输入-输出关系的机械、电气、液压、热力等不同系统。a)建立物理模型（包括力学模型、电学模型、液压模型等），确定系统或元件的输入量和输出量；b)按照信号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的有关定律建立各元件或环节的微分方程；c)消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程；d)整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。2.2.1系统微分方程的建立步骤对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：1110111101()()...()()()()...()()nnnonooonnmmmimiiimmdddaxtaxtaxtaxtdtdtdtdddbxtbxtbxtbxtdtdtdt2.2.1系统微分方程的建立步骤式中，xo(t)为系统输出量，xi(t)为系统输入量；机械系统的数学模型通常都可以用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量、弹簧和阻尼三个要素来描述。惯性和刚度较大的构件可以忽略其弹性，简化为质量块；惯性小，柔度大的构件可以简化为弹簧。质量—弹簧—阻尼系统是常见的对机械系统的抽象。2.2.2机械系统的微分方程10补充：阻尼基本概念永动机是不可能的：如果没有从外界不断补充能量，任何振动系统都将逐渐衰减，并最终趋于静止。这种现象说明，在运动过程中，体系的总机械能不断在散失，不断在被别的某种系统所吸收。这种吸收振动体系机械能并使之耗散的系统称为阻尼系统。阻尼阻尼（英语：damping）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。在电学中，是响应时间的意思。11在机械物理学中，系统的能量的减小——阻尼振动不都是因“阻力”引起的，就机械振动而言，一种是因摩擦阻力生热，使系统的机械能减小，转化为内能，这种阻尼叫摩擦阻尼；另一种是系统引起周围质点的震动，使系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量，这种阻尼叫辐射阻尼。在机械系统中，阻尼是指阻碍物体的相对运动、并把运动能量转化为热能或其他可以耗散能量的一种作用。补充：阻尼基本概念12补充：阻尼基本概念物体在运动中所受到的阻力F的产生原因非常复杂，通常可分为四类：阻力的分类和各自的性质13补充：阻尼基本概念cvF摩擦力产生的原因很复杂，可以认为当接触面很粗糙时，摩擦力主要由凸凹不平的接触面在相互阻碍运动而产生的；当接触面光滑时，主要是物体间的分子力产生的摩擦力。因后者能解释与材料的关系，所以更有说服力。14补充：阻尼基本概念15补充：阻尼基本概念阻力的数学表达式16补充：阻尼基本概念f(v)的不同形式17补充：阻尼基本概念在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。阻尼力F的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，记作F=-cv，c为粘性阻尼系数，其数值由振动试验确定。由于线性系统数学求解简单，在工程上常将其他形式的阻尼按照它们在一个周期内能量损耗相等的原则，折算成等效粘性阻尼。物体的运动随着系统阻尼系数的大小而改变。在某些情况下，粘性阻尼并不能充分反映机械系统中能量耗散的实际情况。因此，在研究机械振动时，还建立有迟滞阻尼、比例阻尼和非线性阻尼等模型。18补充：刚度的基本概念刚度是指材料在受力时抵抗弹性变形的能力。是材料弹性变形难易程度的一个象征。材料的刚度通常用弹性模量E来衡量。在弹性范围内，刚度是零件荷载与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力。它的倒数称为柔度，即单位力引起的位移。刚度可分为静刚度和动刚度。构件变形常影响构件的工作，例如齿轮轴的过度变形会影响齿轮啮合状况，机床变形过大会降低加工精度等。影响刚度的因素是材料的弹性模量和结构形式，改变结构形式对刚度有显著影响。刚度计算是振动理论和结构稳定性分析的基础。在质量不变的情况下，刚度大则固有频率高。静不定结构的应力分布与各部分的刚度比例有关。在断裂力学分析中，含裂纹构件的应力强度因子可根据柔度求得。19补充：刚度的基本概念一个机构的刚度（k）是指弹性体抵抗变形（弯曲、拉伸、压缩等）的能力。计算公式：刚度的计算轴向刚度:k=F/δ其中，F为施加的力，L为δ是由于力而产生的形变。转动刚度:k=M/θ其中，M为施加的力矩，θ为旋转角度。考虑如图所示的质量弹簧系统，滑道表面与质量块之间的摩擦力设为粘性阻尼模型，试分析在外力f(t)作用下，质量块位移y的变化规律。这是一个系统吗？输入是什么？输出是什么？如何建立描述输入输出之间关系的数学模型？质量—弹簧—阻尼系统2.2.2机械系统的微分方程DkDykyyy.mmf(t)f(t)质量—弹簧—阻尼系统各部分基本物理规律：质量（块）)(tfmxy0)(txm)(tv由牛顿运动定律：2.2.2机械系统的微分方程弹簧)(tfk)(1tx)(2txk由胡克定律：2.2.2机械系统的微分方程弹簧压缩量粘性阻尼（液压、气压活塞推杆）阻尼器两部分相对运动速度2.2.2机械系统的微分方程•以弹簧平衡时系统的位置为初始平衡点，由牛顿第二定律建立力平衡方程：22()()()()dytdytmftDkytdtdt22()()()()dytdytmDkytftdtdt2.2.2机械系统的微分方程f(t)包含重力mgDkDykyyy.mmf(t)f(t)图为组合机床动力滑台铣平面时的情况，当切削力f(t)变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量和精度。试建立切削力f(t)与滑台质量块位移y(t)之间的动力学模型。一、机械平动系统2.2.2机械系统的微分方程k—刚度系数；D—粘滞阻尼系数；铣刀解：首先将动力滑台连同铣刀抽象成质量－弹簧－阻尼系统的力学模型。根据牛顿第二定律将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得22d()d()()()ddytytftDkytmtt22d()d()()()ddytytmDkytfttt2.2.2机械系统的微分方程二、机械转动系统如图(a)示定轴转动系统，旋转体的转动惯量等效为J，转动轴所受的摩擦设为粘性摩擦，阻尼系数为D，转动轴连接刚度为k，等效模型如图(b)所示。若驱动力矩为T，则根据转矩平衡方程，有：22=ddJDkTdtdt2.2.2机械系统的微分方程2.2.2机械系统的微分方程三、“平动-转动系统”间基本物理量的折算m电机输入m电机输入电机输入m（a）（b）（c）图(a)为丝杠螺母传动机构，(b)为齿轮齿条传动机构，(c)为同步齿形带传动机构，求三种传动方式下，负载m折算到驱动电机轴上的等效转动惯量J。实例:电机驱动进给装置电机驱动进给装置等效系统J电动机等效转动惯量按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的等效转动惯量为：22LmJL—丝杠螺距，即丝杠每转一周工作台移动的直线距离。2.2.2机械系统的微分方程工作台m丝杠L电动机（a）丝杠螺母传动Lωv2π22LLLLL22mdωdωdTtmm2πdt2π2πdt2πdtLdvTt2πmLdt2.2.2机械系统的微分方程2.2.2机械系统的微分方程解：对图2-4(b)和(c)所示的情况，设齿轮或皮带轮的分度圆半径为r，负载m可以看作一个质点绕齿轮或带轮转动，则负载折算到电机轴上的等效转动惯量为2mrJm电机输入m电机输入（b）（c）四、齿轮传动系统中基本物理量的折算z1，r1T11T22z2,r2假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、啮合间隙与变形，则：2121121221rrzzTTT1、T2：转矩1、2：角位移1、2：角速度z1、z2：齿数r1、r2：齿轮分度圆半径2.2.2机械系统的微分方程2.2.2机械系统的微分方程试求该系统输入力矩M(t)与轴2转角之间的微分方程。2()t•在忽略传动摩擦的情况下，分别针对两个转动轴列写力矩平衡方程，有：21111122222222fzddJMcMdtdtddJMcMdtdt2221112122211222121212()()/,,fzfzddJiJciciMdtdtddJCiMMdtdtizzJJiJCcic2.2.2机械系统1221121122MzriMzr对于多级齿轮传动，同理可推得折算到输入轴上的等效转动惯量与粘性阻尼为：机械系统中，齿轮传动多用于减速和增大力矩，故一般传动比小于1，于是多级齿轮传动中，后级齿轮及负载的转动惯量和粘性摩擦往往可以忽略不计。...324322122211JzzzzJzzJJ...324322122211CzzzzCzzCC2.2.2机械系统实例：机床进给传动链2.2.2机械系统的微分方程J3T3K3轴Ⅲ轴Ⅱ轴ⅠT1xiG1J1K1G3G2G4J2T2K2mCKxoθi输入为轴I转角θi，输出为滑块位移xo，试求该系统的微分方程。z4z2z3z12.2.2机械系统的微分方程222233111123224242zzzzzLJJJJmzzzzz(1)轴I、II、III转动惯量及工作台质量的归算轴II的转动惯量J2归算到轴I为J’2有：2212'2)(zzJJ轴III的转动惯量J3归算到轴I为J’3有：243213'3).(zzzzJJ工作台质量m归算到轴III的转动惯量为Jm有：2)2(LmJmJm归算到轴I的转动惯量为J’m有：243212').()2(zzzzLmJm轴I的总转动惯量：2.2.2机械系统的微分方程（2）传动刚度的归算（扭转刚度和轴向刚度）轴II的扭转刚度K2归算到轴I为K’2有：2212'2)(zzKK工作台的轴向刚度K归算到轴III为Km有：轴