最新中考数学：隐形圆的应用

回顾1、圆的定义2、确定圆的条件“圆”是初中数学重要的知识之一，纵观近几年中考数学，除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外，常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质，往往这类题目中明明图形中没有出现“圆”，但若能依据题目的特点把实际存在的圆找出来，再利用圆的有关性质来解决问题，像这样的题我们称之为“隐形圆模型”，这一模型几乎每年中考都会出现。对应练1、如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=76∘，则∠CBD=______度。真题演练1.如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=度。简答：如图2，因为AB=AC=AD，故B、C、D三点在以A为圆心的圆上，故∠CBD=∠CAD=38°12对应练1、如图①,在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,将△ABC绕点B顺时针旋转α(0α120∘)得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M.在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值?若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；对应练1、已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为真题演练1.如图，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为（）真题演练1.如图，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为（）简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等于1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为90°，轨迹长度为四分之一圆的长度。真题演练2.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）。2.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）。简答：E是动点，导致EF、EC、EP都在变化，但是FP=FC=2不变，故P点到F点的距离永远等于2，故P在⊙F上运动，如图。由垂线段最短可知，FH⊥AB时，FH最短，当F、P、H三点共线时，PH最短，又因为△AFH∽△ABC，所以AF:FH:AH=5:4:3，又因为AF=4，故FH=3.2，又因为FP=2，故PH最短为1.2真题演练3.如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP长的最小值为（）。3.如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP长的最小值为（）。简答：如图2，因为AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故P在以AB为直径的⊙H上，当H、P、C三点共线时CP最短，HB=3，BC=4则HC=5，故CP=5-3=2。小结以上例题说明，在求一类线段最值问题中，如果遇到动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的方案1或方案3就可以解决。然而难点在于如何知道动点的运动路径是圆，如何将这个隐身“圆”找出来？从以上例子得出以下两种方法（1）观察到定点的距离，即圆是到定点距离等于定长的点的集合；（2）“定弦对定角”如例中线段是定值，当动点在运动过程中的大小不变等于90度（当然不一定为直角），点的运动路径也是圆（或弧）。牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。