复变函数-第六章保形映射

1第六章保形映射这一章,我们从复平面间映射的角度来研究复变函数保形映射,顾名思义是保持形状的映射.人们利用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、电磁学以及其他方面的许多重要问题，比如：1.网格的保形变换，用以计算船体表面积2.茹可夫斯基变换，设计机翼，减小空气阻力，增加浮力2z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果z'(t0)0,at0b,则我们用z'(t0)表示C在点z0=z(t0)处的z'(t)的切线(把起点放取在z0.与z(t0)z(a)z(b)z'(t0)曲线的概念3事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示ttzttzΔ)()Δ(00的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示ttzttztztΔ)()Δ(lim)(000Δ0的向量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.z'(t0)4因此,我们有1)Argz'(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z01C2C51.解析函数的导数的几何意义设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f'(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线:z=z(t),atb,且z0=z(t0),z'(t0)0,at0b.映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f(z0)的一条有向光滑曲线G:w=f[z(t)],atb.OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw00000000lim,limzzwfzArgfzzDDDD0()000000elimlimlimlimeeiiizzzzzDDDDDDDDD6根据复合函数求导法连锁规则,有w'(t0)=f'(z0)z'(t0)0.因此,在G上点w0处也有切线存在,且切线正向与u轴正向的夹角是Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0).若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角,则1)导数f'(z0)0的辐角Argf'(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角;OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw0000.即Argf'(z0)=Argw'(t0)Argz'(t0)72)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w08相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性.yaOxOuv(z)(w)z0w0C1C2G1G211222121a93)称为C在z0的伸缩率.上式表明|f'(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比值的极限，从而可视为映射w=f(z)在点z0处沿曲线C的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率不变性.上式可视为000fzfzfzzz01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离伸长；01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离缩短；01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离不变。00000|()|limlimzzzDDD102.保形映射的概念定义设函数w=f(z)在z0的邻域内是一对一的,在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是保形的,或称w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是保形的,就称w=f(z)是区域D内的保形映射.仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保形映射。例如是第二类保形映射。wz11几个初等函数所构成的保形映射1.幂函数w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是1d,dnwnzzd0.dwz因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处保形.,nnwziirzrewenrr圆周圆周；射线射线。映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍.12O(z)0O(w)n0w=zn(z)(w)OOn2上岸下岸w=zn002)n000角形域:角形域:n(由单值性可知002特别，沿实轴剪开的w平面:2.n13例1求w=z2把角形域0argz/4映射成何区域2:0wzz注意在处就不是保角映射412(1)22z22,4ifiiei在处的伸缩率是旋转角是140002:00()nnnnn根式函数z=w于是w=z和z=w的映射特点是扩大与缩小角形域。O(z)0O(w)n0nz=wnz=wnz=wn0nz=w15定理一设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f'(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为|f'(z0)|而与其形状和方向无关.16在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f'(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G2定理一的几何意义.17定理二如果函数w=f(z)在z0解析,且f'(z0)0,则映射w=f(z)在z0是保形的,而且Argf'(z0)表示这个映射在z0的转动角,|f'(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在D内是一一的,且处处有f'(z)0,则映射w=f(z)是D内的保形映射.保形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一点保角，在每一点具有伸缩率不变性。例如函数在不是保形的；zwe04Imz在是保形的。0Im2z2.指数函数w=ez由于在z平面内w‘=ez0。所以,由w=ez所构成的映射是0y2上的保形映射.设z=x+iy,w=rei,则w=ez=ex+iy=rei推出r=ex：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r；（x0单位圆周,x0单位圆内,x0单位圆外）=y：z平面上水平直线y映射成w平面上射线。aiOxy(z)argw=auOv(w)2iOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw20带形域0Im(z)a映射成角形域0argwa.特别是带形域0Im(z)2映射成沿正实轴剪开的w平面:0argw2.它们间的点是一一对应的.lnln||arg,Im2zzzizwez3.对数函数的主值分支是在0上的反函数216.1几个初等函数的映射6.1.1.:.(,)wazb线性变换伸缩旋转和平移的复合12()12||,(),iiaaebbibZarewZbZbibaa根据复数的指数表达式,记22:(1)1.zwiz例6.1求平面的单位正方形经映射的像线性变换,保持形状不变,将圆(方)映成圆(方)2316.1.2.,(0)wzz复反演映射2zZwZz是和的复合映射241()(0),(0),()0wTzzTTz如果补充反演映射的定义则反演映射推广到扩充复平面C222222221,,,,,zxiywuivwzxyuvuvxyxyxyuvuv证明:记根据等式得定理6.1复反演映射具有将圆周映射成圆周的特性（保圆性）和保角性.25方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0a=0表示直线,表示a0圆周代入x,y变为方程d(u2+v2)+bucv+a=0。当a0,d0：圆周映射为圆周;当a0,d=0：圆周映射成直线;当a=0,d0：直线映射成圆周；当a=0,d=0：直线映射成直线.这就是说,映射w=1/z把圆周映射成圆周.或者说,映射w=1/z具有保圆性.224bcad满足时262111,0,,.0,0,,00,1/.1/.wwzzzzzzwzwzwzz讨论保角性:这时当时是解析函数因此是保形映射而当时时对这两点作保形映射的任何穿过点的两条曲线在点的夹角就是在无穷远处的两条曲线的夹角则在整个扩充复平面是补充规保形的定271,(0),xaawz例6.2求直线在映射下的像22221:,ayzaiywizayay解28111,(0),xccwz例6.3右半平面在映射下变为何区域29§6.2分式线性映射分式线性映射:0,()()0cwzdwazbdwbzadbccwa求逆映射0azbabwadbcczdcd2dd()wadbczczd30两个分式线性映射的复合,仍是分式线性映射.例如(0),''(''''0),''()()('''')0wzzazbwczdadbcabababababab则式中31分式线性映射分解为一些简单映射的复合,0,(0)10,(0)abcwzadddabcadcwadbcccczd当时是线性变换当时1,,(0)abcadZczd0azbabwadbcczdcd分式线性映射分解为一些简单映射的复合,0azbabwadbcczdcd32由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成:zwazwbzw1)iii;)ii;)i下面讨论三种映射,为了方便画图,暂且将w平面看成是与z平面重合的.33i)w=z+b.这是一个平移映射.因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量b的方向平移一段距离|b|后,就得到w.O(z)(w)zwb34ii)w=az,a0.这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.设a=leia将z先转一个角度a,再将|z|伸长(或缩短)l倍后,就得到w.O(z)=(w)zwa3511111111iii),11(,,1)1,||1,..ii要从作出应先作出点关于圆周对称的点然后再作出点关于实轴对称的点即得zw1w136而i)与ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是保形的,复反演映射iii)在整个扩充复平面上也是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性.37根据保圆性,在分式线性映射下,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线.定理二分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.38圆周的对称点OPOP'=r2,因为DOP'T相似于D