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6.4三角形的中位线定理如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。温馨提示连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形有三条中位线三角形的中位线和三角形的中线不同EDFACB获取新知你还能画出几条三角形的中位线？（1）相同之处——都和边的中点有关；（2）不同之处：三角形中位线的两个端点都是边的中点；三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点。CBAED概念对比CBAD中线DC中位线DE理解三角形的中位线定义的两层含义:②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的；CBAED中位线中点猜一猜：△ABC的中位线DE与BC的关系怎样？（从位置和数量关系猜想）获取新知DE∥BC,BCDE21即：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。你能验证你的猜想吗？ABCDE怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?请动手试一试!F四边形BCFD是平行四边形吗?说说你的理由!已知：如图：在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点。求证：DE∥BC,DE=BC.21DABCEF分析:延长ED到F,使DF=ED,连接CF易证△ADE≌△CFE，得CF=AE,∠A=∠ACF又可得CF=BE,CF//BE所以四边形BCFE是平行四边形则有DE//BC,DE=EF=BC2121三角形的中位线平行且等于第三边的一半.几何语言：∵DE是△ABC的中位线CEDBABC21//DE①证明平行问题②证明一条线段是另一条线段的两倍或一半用途如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定C初试身手初试身手ACBEDF初试身手①若∠ADE=65°，则∠B=度，为什么？②若BC=8cm，则DE=cm，为什么？654③若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，则△DEF的周长=______如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点9cm④若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____121、三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？探究活动2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？⑤图中有_____个平行四边形⑥若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____36设计方案：F（中点）(中点)DE(中点)ABCA、B两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？MN在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？CBA2040在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、BD、AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是。ABDCEFGH11已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．（第4题）已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.猜想四边形EFGH的形状并证明。ABCDEFGHE，F是AB，BC的中点，你联想到什么？要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？证明：如图，连接AC∵EF是△ABC的中位线AC21//EF同理得：AC21//GHEF//GH∴四边形EFGH是平行四边形典例示范答：四边形EFGH为平行四边形。（1）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？（3）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？（2）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？菱形ABCDABCDFEGH结论原四边形两条对角线连接四边中点所得四边形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四边形实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.它的对角线是否垂直或者是否相等它的对角线是否垂直或者是否相等（1）顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是什么？（2）顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么？平行四边形矩形（3）顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么？正方形（4）顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么？菱形菱形例2已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证(1)四边形EFGH是平行四边形。(2)请增加一个条件使得四边形ADFE为菱形。(3)请增加一个条件使得四边形ADFE为矩形。ABCDEFGH(4)能不能只增加一个条件使得四边形ADFE为正方形。例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．FEDBAC例:求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．图24.4.3已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明连结DE、EF．∵AD＝DB，BE＝EC，∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF∥AB．∴四边形ADEF是平行四边形．∴AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．GHFOEDCBA例3：已知ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求证：∠HEF＝∠FGH。作业：1.P32练习第1题，习题第2题（书上）2.完成练习册及资料上相对应的题。梦想的力量当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活成功，会在不期然间忽然降临！●一个不注意小事情的人，永远不会成功大事业。──卡耐基●一个能思考的人，才真是一个力量无边的人。──巴尔扎克●一个人的价值，应当看他贡献了什么，而不应当看他取得了什么。──爱因斯坦●一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。──雨果●一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。──高尔基●生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。──马克思●浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。──列宁●哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅●完成工作的方法，是爱惜每一分钟。──达尔文●没有伟大的愿望，就没有伟大的天才。──巴尔扎克●读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。──笛卡尔●成功＝艰苦的劳动＋正确的方法＋少谈空话。──爱因斯坦