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3.1.3概率的基本性质知识能力目标引航1.理解、掌握事件间的包含关系和相等关系.2.掌握事件的交、并运算,理解互斥事件和对立事件的概念及关系.3.掌握概率的性质,并能用之解决有关问题.1.事件的关系(1)包含关系.一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作B⊇A(或A⊆B).不可能事件记作⌀,任何事件都包含不可能事件,即⌀⊆A.(2)相等关系.一般地,若B⊇A,且A⊇B,那么称事件A与事件B相等,记作A=B.【做一做1】同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,向上面至少有一枚是正面为事件N,则有()A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.MN解析:事件N包含两种结果:向上面都是正面或向上面是一正一反.则当M发生时,事件N一定发生.则有M⊆N.答案:A2.事件的运算(1)并事件.若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作C=A∪B(或C=A+B).(2)交事件.若某事件C发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作C=A∩B(或C=AB).(3)互斥事件.若A∩B为不可能事件(A∩B=⌀),那么称事件A与事件B互斥,其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.如果事件A与事件B是互斥事件,那么A与B这两个事件同时发生的概率为0.(4)对立事件.若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.①对立事件的特征:一次试验中,不会同时发生,且必有一个事件发生.②对立事件是特殊的互斥事件,即对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.③从集合角度看,事件A的对立事件,是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集.【做一做2-1】抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P={向上的点数是1},事件Q={向上的点数是3或4},M={向上的点数是1或3},则P∪Q=,M∩Q=.答案:{向上的点数是1或3或4}{向上的点数是3}【做一做2-2】在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是.答案:至少有一件是二级品3.概率的性质(1)范围.任何事件的概率P(A)∈[0,1].(2)必然事件的概率.必然事件的概率P(A)=1.(3)不可能事件的概率.不可能事件的概率P(A)=0.(4)概率加法公式.如果事件A与事件B互斥,则有P(A∪B)=P(A)+P(B).①事件A与事件B互斥,如果没有这一条件,加法公式将不能应用.②如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和.(5)对立事件的概率.若事件A与事件B互为对立事件,那么A∪B为必然事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)=1.公式使用的前提必须是对立事件,否则不能使用此公式.【做一做3-1】事件A与B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于()A.0.4B.0.5C.0.6D.1解析:P(B)=1-P(A)=0.4.答案:A【做一做3-2】已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,且A与B是互斥事件,则P(A∪B)=.解析:P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3.答案:0.31.若事件A与事件B不互斥,则P(A∪B)≠P(A)+P(B)剖析:否定一个等式不成立,只需举出一个反例即可.例如:抛掷一枚均匀的正方体骰子,向上的点数是1或2或3或4或5或6为事件A,且A=B,则A∪B表示向上的点数是1或2或3或4或5或6,则P(A)=P(B)=P(A∪B)=1,P(A)+P(B)=1+1=2,所以此时P(A∪B)≠P(A)+P(B),即P(A∪B)=P(A)+P(B)不成立.上例中P(A∪B)≠P(A)+P(B)的原因是事件A与事件B不是互斥事件.其实对于任意事件A与B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)(不要求证明也不要求会用),那么当且仅当A∩B=⌀,即事件A与事件B是互斥事件时,P(A∩B)=0,此时才有P(A∪B)=P(A)+P(B)成立.2.事件与集合之间的对应关系剖析:事件与集合之间的对应关系如下表:事件集合必然事件全集不可能事件(⌀)空集(⌀)事件B包含于事件A(B⊆A)集合B包含于集合A(B⊆A)事件B与事件A相等(B=A)集合B与集合A相等(B=A)事件B与事件A的并事件(B∪A)集合B与集合A的并集(B∪A)事件B与事件A的交事件(B∩A)集合B与集合A的交集(B∩A)事件B与事件A互斥(B∩A=⌀)集合B与集合A的交集为空集(B∩A=⌀)事件A的对立事件集合A的补集(∁UA)题型一判断互斥(对立事件)【例题1】判断下列各事件是否是互斥事件,如果是互斥事件,那么是否是对立事件,并说明理由.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是女生.解:(1)是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生.这两个事件也不是对立事件.理由是这两个事件能同时发生,所以不是对立事件.(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.理由是这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件.判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.题型二概率加法公式的应用【例题2】某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率;(2)射中7环以下的概率.分析:(1)利用互斥事件的概率加法公式解决;(2)转化为求对立事件的概率.解:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,则“射中10环或7环”的事件为A∪B,事件A和事件B是互斥事件,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49,所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)设“射中7环以下”为事件C,“射中7环或8环或9环或10环”为事件D,则P(D)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97.又事件C和事件D是对立事件,则P(C)=1-P(D)=1-0.97=0.03.所以射中7环以下的概率是0.03.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并(如本题(1)),二是先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率(如本题(2)).题型三易错辨析【例题3】抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16,记事件A为“出现奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,求P(A∪B).错解:设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1,C2,C3,C4,C5,C6,则它们两两是互斥事件,且A=C1∪C3∪C5,B=C1∪C2∪C3.P(C1)=P(C2)=P(C3)=P(C4)=P(C5)=P(C6)=16.则P(A)=P(C1∪C3∪C5)=P(C1)+P(C3)+P(C5)=16+16+16=12.P(B)=P(C1∪C2∪C3)=P(C1)+P(C2)+P(C3)=16+16+16=12.故P(A∪B)=P(A)+P(B)=12+12=1.错因分析:错解的原因在于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解.正解:记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥.则A∪B=A1∪A2∪A3∪A4.故P(A∪B)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=16+16+16+16=23.1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么,互斥而不对立的事件是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球解析:A项中,若取出的3个球是3个红球,则这两个事件同时发生,故它们不是互斥事件,所以A项不符合题意;B项中,这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,则它们是互斥事件且是对立事件,所以B项不符合题意;C项中,若取出的3个球是1个红球2个白球时,它们同时发生,则它们不是互斥事件,所以C项不符合题意;D项中,这两个事件不能同时发生,是互斥事件,若取出的3个球都是红球,则它们都没有发生,故它们不是对立事件,所以D项符合题意.答案:D2甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为()A.60%B.30%C.10%D.50%解析:甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋,则甲、乙两人下成和棋的概率为90%-40%=50%.答案:D3.从某班学生中任找一人,如果该同学身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175]cm的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8解析:由题意易知所求概率为1-0.2-0.5=0.3.答案:B4一个射箭运动员进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件;哪些是对立事件.事件A:命中环数大于7环;事件B:命中环数为10环;事件C:命中环数小于6环;事件D:命中环数为6,7,8,9,10环.分析:要判断所给的事件是对立事件还是互斥事件,首先要将这两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两个事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中必有一个发生.解:A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥.C与D是对立事件.5某公务员去外地开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4,求:(1)他乘火车或乘飞机去的概率;(2)他不乘轮船去的概率.解:设乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去为事件C,乘飞机去为事件D,它们彼此互斥,则P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(D)=0.4.(1)P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.(2)设不乘轮船去开会为事件E,则P(E)=P(A∪C∪D)=P(A)+P(C)+P(D)=0.3+0.1+0.4=0.8,另解:E与B是对立事件,则P(E)=1-P(B)=1-0.2=0.8.备选习题1.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上的点数是1或2为事件A,向上的点数是2或3为事件B,则()A.A⊆BB.A=BC.A∪B表示向上的点数是1或2或3D.A∩B表示向上的点数是1或2或3解析:当向上的点数是1时,事件A发生,事件B没有发生,所以A、B均不正确;A∩B表示事件A,B同时发生,所以A∩B表示向上的点数为2,所以D不正确;A∪B表示向上的点数是1或2或3.答案:C2.从1,2,3,…,9这9个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一