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第三章概率3.1随机事件的概率3．1.3概率的基本性质[学习目标]1.了解互斥事件的概率加法公式(重点)．2.理解事件的关系与运算；理解概率的基本性质(重点、易错点、易混点)．3.会用对立事件的特征求概率(重点)．[知识提炼·梳理]1．事件的关系及运算项目定义表示法图示事件的关系包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥若A∩B＝∅，则A与B互斥事件的关系对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件若A∩B＝∅，且A∪B＝U，则A与B对立事件的运算并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)事件的运算交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)2.概率的几个性质(1)范围．任何事件的概率P(A)∈[0，1]．(2)必然事件的概率．必然事件的概率P(A)＝1．(3)不可能事件的概率．不可能事件的概率P(A)＝0．(4)概率加法公式．如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率．若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，即有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)互斥事件一定对立．()(2)对立事件一定互斥．()(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．()(4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()解析：对立必互斥，互斥不一定对立，所以(2)正确，(1)错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，所以(3)错；只有A与B为对立事件，才有P(A)＝1－P(B)，所以(4)错．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品解析：至少有2件次品包含2件、3件、4件、5件、6件、7件、8件、9件、10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．答案：B3．同时抛掷两枚硬币，向上都是正面为事件M，向上至少有一枚是正面为事件N，则有()A．M⊆NB．M⊇NC．M＝ND．M＜N答案：A4．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝________．答案：0.35．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.答案：0.65类型1互斥事件、对立事件的判断[典例1]在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.15，0.2，0.3，0.35，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其关系可用下图表示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：D归纳升华1．从概念看，对立事件必是互斥事件，两个对立或互斥的事件不能同时发生，但对立事件有且只有一个发生，而互斥事件有可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生．2．从集合观点看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但表示两个对立事件的集合的并集是全集，而表示两个互斥事件的集合的并集不一定是全集．3．从概率和看，两个对立事件的概率之和一定等于1，而两个互斥事件的概率之和小于或等于1.[变式训练]从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两事件是()A．“至少有1个黑球”和“都是黑球”B．“至少有1个黑球”和“至少有1个红球”C．“恰有1个黑球”和“恰有2个红球”D．“至少有1个黑球”和“都是红球”解析：设A＝“恰有1个黑球”，B＝“恰有2个黑球”．事件A与B不可能同时发生，因此事件A与B互斥；但A与B也可能都不发生，因此事件A与B不对立．至少有1个黑球与都是黑球既不互斥也不对立；至少有1个黑球与至少有1个红球既不互斥也不对立；至少有1个黑球与都是红球对立但不互斥．答案：C类型2事件的运算(互动探究)[典例2]盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，三个均为红球，故C∩A＝A.[迁移探究]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A，B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？解：由典例2的解答可知C＝A∪B∪E；C∩F＝A∪B.2．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．类型3求互斥事件、对立事件的概率[典例3]一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．解析：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.归纳升华1．应用概率加法公式时要保证事件互斥，复杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简，注意不重不漏．2．当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即运用“正难则反”的思想．[变式训练]甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－12－13＝16，即甲获胜的概率是16.(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23.法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－13＝23，即甲不输的概率是23.1．在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立事件有且仅有一个发生．2．事件A＋B或A∪B，表示事件A与事件B至少有一个发生，事件AB或A∩B，表示事件A与事件B同时发生．3．概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B)．4．如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.5．如果事件A1，A2，…，An中彼此两两互斥，那么事件(A1＋A2＋…＋An)表示事件A1，A2，…，An中至少有一个发生；P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．6．在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易，并注意“正难则反”思想方法的应用．