搜索
高一·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修3第三章3．1.3概率的基本性质课前自主预习方法警示探究思路方法技巧名师辩误做答课后强化作业随堂应用练习课前自主预习温故知新1．当几个集合是有限集时，常用列举法列出集合中的元素，求集合A∪B与A∩B中的元素个数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中元素的个数；而当A∩B＝Ø时，A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数；而当A∩B≠Ø时，A∪B中的元素个数即为A、B中元素个数之和A∩B中的元素个数．本节要学习的互斥事件和对立事件与集合之间的运算有着密切的联系，学习中要仔细揣摩、认真体会．公共之和减去2．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，以下理解正确的是()A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市明天将有70%的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定淋雨D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大[答案]D[解析]概率表示事件发生的可能性．3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的个数可能为()A．160件B．7840件C．7998件D．7800件[答案]B[解析]合格品的件数约为8000×98%＝7840件．故选B.4．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是()A．次品率小于10%B．次品率大于10%C．次品率等于10%D．次品率接近10%[答案]D[解析]抽出的样本中次品率为110，即10%，所以总体中次品率大约为10%.新课引入2008年第29届北京奥运会的比赛项目共有28项，分别是：田径、赛艇、羽毛球、垒球、篮球、足球、拳击、皮划艇、自行车、击剑、体操、举重、手球、曲棍球、柔道、摔跤、水上项目、现代五项、棒球、马术、跆拳道、网球、乒乓球、射击、射箭、铁人三项、帆船帆板和排球．金牌总数达到303枚！但是一名运动员在同一个项目里能否既获得金牌又获得银牌呢？这是不可能的！通过本节课的学习，就可以知道其中的道理．自主预习阅读教材P119－121，回答下列问题：1．事件的关系(1)包含关系．一般地，对于事件A与事件B，如果事件A，则事件B一定，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作(或A⊆B)．不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件，即.发生发生B⊇AØØ⊆A[拓展]类比集合，事件B包含事件A可用图表示，如图所示．(2)相等关系．一般地，若，且，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.B⊇AA⊇B[拓展]类比集合，事件A与事件B相等可用图表示，如图所示．同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有()A．M⊆NB．M⊇NC．M＝ND．MN[答案]A[解析]事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生．则有M⊆N.(1)并事件．若某事件C发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的(或和事件)，记作C＝(或C＝A＋B)．或并事件A∪B拓展]类比集合的运算，事件A与事件B的并事件可用图表示，即如图所示的阴影部分．(2)交事件．若某事件C发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝(或C＝AB)．且A∩B[拓展]类比集合，事件A与事件B的交事件可用图表示，即如图所示的阴影部分．(3)互斥事件．若AB为(A∩B＝Ø)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是，事件A与事件B在任何一次试验中发生．∩不可能事件不会同时[破疑点]①事件A、事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，即事件A与B互不包容，A⃘B，B⃘A.②如果事件A与事件B是互斥事件，那么A与B这两个事件同时发生的概率为0.③与集合类比，可用图表示，如图所示．(4)对立事件．若A∩B为事件，A∪B为事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中一个发生．不可能必然有且仅有[破疑点]①对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生；②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．③从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．(1)抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝{向上的点数是1}，事件Q＝{向上的点数是3或4}，M＝{向上的点数是1或3}，则P∪Q＝________，M∩Q＝________.[答案]{向上的点数是1或3或4}{向上的点数是3}(2)在30件产品中有28件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是________．[答案]至少有一件是二级品3．概率的几个性质(1)范围．任何事件的概率P(A)∈．(2)必然事件的概率．必然事件的概率P(A)＝.[0,1]1(3)不可能事件的概率．不可能事件的概率P(A)＝.(4)概率加法公式．如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝．0P(A)＋P(B)[破疑点]①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．(5)对立事件的概率．若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝＋＝1.P(A)P(B)[破疑点]①公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．②当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率．(1)事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于()A．0.4B．0.5C．0.6D．1[答案]A[解析]P(B)＝1－P(A)＝0.4.(2)已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝________.[答案]0.3[解析]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.4．事件与集合之间的对应关系事件与集合之间的对应关系如下表：事件集合必然事件全集不可能事件(Ø)空集(Ø)事件B包含于事件A(B⊆A)集合B包含于集合A(B⊆A)事件B与事件A相等(B＝A)集合B与集合A相等(B＝A)事件B与事件A的并事件(B∪A)集合B与集合A的并集(B∪A)事件集合事件B与事件A的交事件(B∩A)集合B与集合A的交集(B∩A)事件B与事件A互斥(B∩A＝Ø)集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝Ø)事件A的对立事件集合A的补集(∁UA)思路方法技巧命题方向1互斥事件的概念[例1]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有一名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．[解析]判别两个事件是否互斥，就是考查它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考查它们是否必有一个发生且只有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有两名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为“恰有两名男生”发生时，“至少有一名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．(4)由于选出的是“一名男生一名女生”时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．[点评]判断两个互斥事件是否对立要依据试验的条件，考虑事件关系必须先考虑条件．本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件．判断下列每对事件是否为互斥事件．(1)将一枚硬币抛掷两次，事件A：两次出现正面，事件B：只有一次出现正面．(2)某人射击一次，事件A：中靶，事件B：射中9环．(3)某人射击一次，事件A：射中环数大于5，事件B：射中环数小于5.[解析](1)若“两次出现正面”发生，则“只有一次出现正面”不发生，反之亦然，即事件A与B不可能同时发生，∴A，B互斥．(2)某人射击一次中靶不一定击中9环，但击中9环一定中靶，即B发生则A一定发生，∴A，B不互斥．(3)A，B互斥.命题方向2对立事件的概念[例2]抛掷一个骰子，用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系，并说明二者之间是否构成对立事件．(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；(2)“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4”．[分析]对立事件的含义是：两个事件在一次试验中有且仅有一个发生，类比集合．可用Venn图揭示事件之间的关系．[解析](1)根据题意作出Venn图．从图(1)中可以看到：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件．(2)根据题意作出Venn图．从图(2)中可以看到：“朝上的一面的数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4”各自所含结果组成的集合互为补集，它们构成对立事件．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④[答案]B[解析]∵“至少有一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生，且必有一个发生.命题方向3事件的运算事件间运算的类型与方法：(1)事件间运算的类型：(2)事件间运算方法：①利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．②利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．[例3]盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．问：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？[分析]由题目可获取以下主要信息：①在同一条件下产生的不同的试验结果；②在事件间进行运算．解答本题时要抓住运算的定义．[解析](1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.[警误区]在解答(1)时，易出现如下错误：认为A⊆D，B⊆D，出现该错误的原因是没有真正理解题意，没有理解条件D所包含的几种情况．在某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2010年后出版的书}．问：(1)A∩B∩C表示什么事件？(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?(3)C⊆B表示什么意思？(4)若A＝B，是否意味着图书室中数学书都不是中文版的？[分析]本题主要考查事件的关系与运算，解题的关键是弄清事件的关系与运算．[解析](1)A∩B∩C＝{2010年或2010年前出版的中文版的数学书}．(2)在“图书室中所有的数学书都是2010年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.(3)C⊆B表示2010年或2010年前出版的书全是中文版的．(4)是.A＝B意味着图书室中非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时A＝B又可等价成B＝A，因而也可解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书．建模应用引路命题方向4求互斥、对立事件的概率1.复杂事件概率的求解方法：(1)将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和，利用概率的加法公式求解．在将事件拆分成若干个互斥事件时，注意不能重复和遗漏．(2)若(1)中所要拆分的事件非常繁琐