第1章--概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念教学内容：1.随机试验2.样本空间、随机事件3.频率与概率4.等可能概率（古典概率）5.条件概率6.独立性教学目标：1.了解样本空间、随机事件的概念,理解事件之间的关系与运算；2.了解频率、统计频率以及主观概率的定义，掌握古典概率,几何概率的计算方法，理解概率的公理化定义。掌握概率的性质并且会应用性质进行概率计算；3.理解条件概率的概念,掌握条件概率公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会用这些公式进行概率计算阵；4.理解事件独立性的概念,掌握贝努里概型并会应用它进行概率计算.教学重点：事件之间的关系与运算、古典概率、几何概率、概率的公理化定义与概率的性质、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和事件的独立性。教学难点：全概率公式和贝叶斯公式及其应用。教学方法：讲授法、演示法、练习法。教学手段：多媒体+板书。课时安排：10课时。教学过程：§1.1随机实验一、概率论的诞生及应用1654年,法国一个名叫梅累的骑士(一个上流社会的赌徒兼业余哲学家)就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ca),另一赌徒胜b局(cb)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望.概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.二、随机现象1.确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，称为确定性现象。如：太阳不会从西边升起、水从高处流向低处等。2.统计规律性在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量重复试验或观察下，他的结果却呈现处某种规律性.这种在大量重复试验或观察中所呈现出来来的固有规律性，称为统计规律性。3.随机现象这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果有具有统计规律性的现象称为随机现象。简言即：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.如：在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反结果，有可能出现正面也可能出现反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，结果有可能为:1、2、3、4、5、6等注：1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述；2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.3.随机现象是通过随机试验来研究的.三、随机试验定义：在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.如;“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”,分析：(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;(2)试验的所有可能结果:字面、花面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.§1.2样本空间、随机事件一、样本空间样本点定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间的元素,即试验E的每一个结果,称为样本点.如：（1）抛掷一枚骰子,观察出现的点数..}6,5,4,3,2,1{1s（2）从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况..,次品正品记DN则.},,,,,,,{2DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNNs说明：（1）试验不同,对应的样本空间也不同.（2）同一试验,若试验目的不同,则对应的样本（3）在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.二、随机事件的概念1.基本概念一般地，随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件。每次实验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次实验中它总是发生的,S称为必然事件.空集不包含任何点，它也作为样本空间的子集,它在每次实验中都不发生，称为不可能事件。注：必然事件的对立面是不可能事件，不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.实例：抛掷一枚骰子,观察出现的点数.骰子“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”等都是基本事件.“点数不大于6”就是必然事件.“点数大于6”就是不可能事件.2.几点说明（1）随机事件可简称为事件,并以大写英文字母A,B,C,来表示事件.例如：抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可设A=“点数不大于4”,B=“点数为奇数”等等.(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系：每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.三、随机事件间的关系及运算设试验E的样本空间为S,而),2,1(,,kABAk是S的子集，1.若BA,则称事件B包含事件A，则称事件A发生必然导致事件B发生。例：“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”若BA,且AB，则称事件A与事件B相等。2.事件BxAxxBA或称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A，B中至少一个发生时，事件BA发生。推广称nknkAAAnA,,,211个事件为的和事件，.,,211的和事件为可列个事件称AAAkk3.事件,BxAxxBA且称为事件A与事件B积和事件。当且仅当A，B同时发生时，事件BA发生。BA也记作AB。类似地,的积事个事件为称nknkAAAnA,,,211件，.,,211的积事件为可列个事件称AAAkk4.事件,BxAxxBA且称为事件A与事件B积差事件。当且仅当A发生，B不发生时，事件BA发生。5.若,BA称为事件A与事件B是互不相容或互斥的，.不能同时发生与事件这指的是事件BA注：基本事件是两两互不相容的.6.若,BASBA且称为事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件，这指的是对每次试验而言，事件A，B中必有一个发生，且仅有一个发生。,AA的对立事件记为.ASA事件间的运算规律：,,,为事件设CBA则有：(1)交换律:ABBA,ABBA(2)结合律:CBACBA)()(,CBACBA)()((3)分配律;)()()(CABACBA.)()()(CABACBA(4)德.摩根律BABABABA.例1,,,,1HTTHTHHHTHHHA设,,2TTTHHHATTTAA12,.,122121AAAAAA，求例2如图所示的电路,，“信号灯亮”表示事件以A分别表示事件：以DCB,,将电器接点I,Ⅱ,Ⅲ闭合,,,,ABDBCABDABC则,AB而.互不相容与事件即事件AB又可得.CBCB§1.3频率与概率一、频率的定义与性质1.频率的定义定义在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An称为事件A发生的频数.比值nnA称为事件A发生的频率，记作Afn。2.频率的性质设A是随机试验E的任一事件,则（1）;1)(0Afn（2）1)(Sfn（3）若kAAA,,,21是两两互不相容的事件，则).()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf注：事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度.频率大,事件发生就越频繁,这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大.反之亦然.例1考虑“抛硬币”这个试验,将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做10遍,得到数据如下:（表见教材第6也表1-1）。从上述数据可得:(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的f不一定相同;(2)抛硬币次数n较小时，之间与在频率10)(Hfn随机波动,其幅度较大,但随着n增大，频率Hfn呈现出稳定性，即当n逐渐增大时，Hfn总在0.5附近摆动，而逐渐稳定与0.5.大量试验证实,当重复试验的次数n逐渐增大时,频率Afn呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数.这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性，让试验重复大量次数,计算频率Afn以它来表征事件A发生的大小是合适的。为了理论研究需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发,给出如下表征事件发生大小的概率的定义.二、概率的定义与性质1.概率的定义定义设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为AP，称为事件A的概率，如果集合P满足条件，0)(,:1APA有对于每一个事件非负性；;1)(,:2SPS有对于必然事件规范性，是两两互不相容的事件设可列可加性,,:321AA,,2,1,,,jijiAAji即对于有)()()(2121APAPAAP2.概率的性质.0)(iP性质)(ii有限可加性性质nAAA,,,21若是两两互不相容事件,则有)()()()(2121nnAPAPAPAAAPiii性质设BA,是两个事件，若BA，则有;)()()(APBPABP)()(APBPiv性质对于任意事件A，1)(AP)(v逆事件的概率性质对于任意事件A，)(1)(APAP)(vi加法公式性质对于任意两个事件BA,，)()()(ABPBPAPBAP此性质可以推广到多个事件的情况.设321,,AAA为任意三个事件，则有)()()()()(21321321AAPAPAPAPAAAP,,,21nAAAn个事件对于任njijiniinAAPAPAAAP1121)()(1)(2111nnnjikjiAAAPAAAP例32131,和的概率分别为设事件BA，求在下列三种情况下)(ABP的值。(1);互斥与BA(2);BA(3)81)(ABP.§1.4等可能概型(古典概型)一、古典概型的定义定义设E是随机试验，若E满足下列条件：（1）试验的样本空间只包含有限个元素;（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同.则称E为等可能概型。等可能概型的试验大量存在,它在概率论发展初期是主要研究对象,所以也称为古典概型。二、古典概型的计算公式定理,个元素包含设试验的样本空间nS,个基本事件包含事件kA则有,)(中基本事件的总数包含的基本事件SAnkAP该式称为等可能概型中事件概率的计算公式.三、典型例题例1将一枚硬币抛掷三次.（1）”“1恰有一次出现正面为设事件A，)(1AP求；（2）,“2至少有一次出现正面”为设事件A.)(2AP求注：当样本空间中的元素较多时,一般不再将元素一一列出,只需分别列出S和E中元素的个数，在用计算公式即可求得相应的概率.例2一只口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球.从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式:（a）第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回抽样.（b）第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球,这种取球方式叫做不放回抽样.试分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.例3将n只球随机的放入NNN个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的容量不限）。注：许多问题和本例有相同数学模型，如生日问题。试求64个人的班级里，生日各不相同的概率为多少？例4设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有Dkk件次品的概率是多少？解在N件产品中任取n件，所有可能的取法共有