《概率论与随机过程》第1章习题答案

1《概率论与随机过程》第一章习题答案1.写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。解：nnnnS100,,1,0，其中n为小班人数。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。解：18,,4,3S。（3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。解：10,,4,3S。（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。解：,11,10S。（5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。解：EDECEBEADEDCDBDACECDCBCABEBDBCBAAEADACABS,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解：210,,eeeS其中，0e为和棋，1e为甲胜，2e为乙胜。（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。解：rwbwbrbrwbwrS,,,,,,其中，,,,bwr分别表示红色、白色、蓝色。（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。解：1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00S其中，0为次品，1为正品。（9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。解：CaBbAcCcBaAbCbBcAaCbBaAcCaBcAbCcBbAaS,,;,,;,,;,,;,,;,,其中，Aa表示球a放在盒子A中，余者类推。（10）测量一汽车通过给定点的速度。解：0vvS（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解：1,0,0,0,,zyxzyxzyxS其中，zyx,,分别表示第一段，第二段，第三段的长度。#2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。解：CBA（2）A与B都发生，而C不发生。解：CAB（3）A，B，C都发生。解：ABC（4）A，B，C中至少有一个发生。解：CBA（5）A，B，C都不发生。解：CBA（6）A，B，C中至多于一个发生。解：ACCBBA（7）A，B，C中至多于二个发生。解：CBA（8）A，B，C中至少有二个发生。解：CABCAB.#3.设10,2,1,S,4,3,2A，5,4,3B，7,6,5C，具体写出下列各等式（1）BA。解：5BA；（2）BA。解：10,9,8,7,6,5,4,3,1BA；（3）BA。解：5,4,3,2BA；2（4）BCA。解：10,9,8,7,6,5,1BCA（5）)(CBA。解：10,9,8,7,6,5,2,1)(CBA.#4.设20xxS，121xxA，2341xxB，具体写出下列各式。（1）BA。解：223410xxxxBA（2）BA。解：223121410xxxxxxBA（3）BA。解：BA（4）BA。解：2312141xxxxBA.#5.设A，B，C是三事件，且41)()()(CPBPAP，0)()(CBPABP，81)(ACP，求A，B，C至少有一个发生的概率。解：由题意可知：0)(ABCP，故85)()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP。或BCA)(，85)()()())((BPACPCPAPBPCAPBCAPCBAP。#6.在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。解：（1）2001500110110090400；（2）设)(kP表示有k个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：200150019911001400200150020011001)1()0(1)(2002PPkPk.#7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？解：（1）属“分房问题”，即有n个人，每个人都以N1的概率被分在N间房中的每一间中，某指定房间中至少有一人的概率。设某指定房间中恰有k个人的概率为)(kP，则有knknknNNNknNNknkP111)(。故，某指定房间中至少有一人的概率为：nnkNNPkP11)0(1)(1。所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：74634.025366.013653641500（2）属“分房问题”，即有n个人，每个人都以N1的概率被分在N间房中的每一间中，至少有二个人在同一间房中的概率。设A为“每一间房中至多有一个人”基本事件个数：nN。“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：!n)(N!N。3所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。0.42710.57291124-(12!12114！）nN!n)(N!N。#8.一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。（1）在第5次测试发现。（2）在第10次测试发现。解：（1）10526789101234634；或1052!6!4!10!3!441034；（2）529106634。#9.甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(BPAP，28.0)(ABP，求)/(BAP，)/(ABP及)(BAP。解：7.04.028.0P(B)P(AB)P(A/B)；7040280...P(A)P(AB)P(B/A)5202804040....P(AB)P(B)P(A)BP(A。#10.已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品。（2）二只都是次品。（3）一只是正品，一只是次品。（4）第二次取出的是次品。解：(1)4528106!2!2!8!821028！！；(2)45110!2!821022！；(3)451610!2!8282101218！；或45169810292108；(4)4599110292108。#11.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：(1)3.010!7!37!2!!931029！;(2)6.05!2!32!2!!43524！。#12.某工厂中，机器321,,BBB分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,BBB生产的概率分别是多少？解：设A为“次品”，已知：25.0)(1BP，35.0)(2BP，40.0)(3BP；05.0)/(1BAP，04.0)/(2BAP，02.0)/(3BAP，40345.040.002.035.004.025.005.0)()/()(31jjjBPBAPAP。故由，)()()/()/(APBPBAPABPiii可得：36232.069250345.025.005.0)()()/()/(111APBPBAPABP；40580.069280345.035.004.0)()()/()/(222APBPBAPABP；23188.069160345.040.002.0)()()/()/(333APBPBAPABP。#13.将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设：BA,分别表示收到信息是A和B。由已知条件可知:020./A)BP(，010./B)AP(，980./A)AP(，990./B)BP(32/P(A)，31/P(B)。300/197/A)AP(A)P(/B）AP(B)P()AP(9499.0791961)()/()()/(APAAPAPAAP。#14.如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？LR123456解:]6543231[)()()(P)P()P()P()P()P()P()P()P()P()P()P()P()P()P()P(65423165432654316523142316546532432653143123165432316542343ppppp。#15.对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。解:设iA：为第i次射击命中飞机；iB：飞机击中i次而被击落。C：射击三次而击落飞机)()()()()(3213213211AAAPAAAPAAAPBPCP)()()()()()(32133213213212AAAPBPAAAPAAAPAAAPBP458.014.0246.0072.014.0)21.014.006.0(6.0)21.009.006.0(2.0。#516.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率质函数。解：3521xxpX345xp10110310617.(1)设随机变量X的概率质函数为!}{kakXPk，0,,2,1,0k为常数，试确定常数a。（2）设随机变量X的概率质函数为NakXP}{，1N,,2,1,0k，试确定常数a。解：（1）1!!}{000aekaka