九年级数学上册第24章：-辅助圆(隐圆)专题练习(无答案)

隐圆模型一定点定长（一中同长）《墨子，经上》中说：圆，一中同长也。清朝陈澧《东塾读书记·诸子》解释道：“《几何原本》云：‘圜之中处一圜心，一圜惟一心，无二心，圜界至中心作直线俱等。’即此所谓‘一中同长’也。模型分析若有一定点，一动点，且动点到定点的距离为定长，则动点的轨迹为圆模型实例如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B处，求BD的最小值.练习：如图，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ=4，则在线段PQ滑动的过程中，点C运动形成的路径长为_________2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________3图2图BCOABCOAABCO图13、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是_________.模型二共端点，等线段模型（鸡爪模型）12BCAD模型分析（1）若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆；（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题。模型典例如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=__________度。练习1、如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。求证：∠1+∠2=90°。2、如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=__________模型三定弦定角模型分析若有一固定线段AB及线段AB所对的角（∠C）固定，则点C可以看作是以AB为弧的圆上运动.模型典例如图在△ABC中，BC=2，∠A=45°，求△ABC的面积最大值.练习1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P为一动点，且PA⊥PC，连接BP，则BP的最大值为_____2、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2√3，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是EBCADF模型四共斜边的直角三角形模型分析：（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角相等重要的途径之一。模型典例：如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F。求证：EF=DE。EBCADGFEBCADHT练习：1、如图，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F。求证：FG∥BC。2、如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。求证：∠AHD=∠AHE。模型五四边形对角互补模型分析：在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则ABCD四点共圆.模型典例：如图，在四边形ABCD中，AC是BAD的平分线，若180BD，求证：BCCD．练习：已知：如图，正方形ABCD中，BD为对角线，45MAN，将MAN绕顶点A逆时针旋转（045），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BCCD，于点E、点F，联结EFEQ，．在MAN的旋转过程中，AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．DCBANMQPFEDCBA综合训练：1、如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．2、矩形ABCD的点A是y轴上的一个动点，B是x轴上的一个动点，EF、ABCDCDAD、BECF、HAHABHFEDCBAAB=4，AD=2，点O是坐标圆点，求OD的最大值.3、如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AF与BD交于N，AE与BD交于M，连接MF、NE，求证△ANE、△AMF是等腰直角三角形.4、在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？