债券的久期和凸性

债券的久期与凸性主要内容债券的久期债券的凸性债券组合的久期与凸性债券的久期市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的资本利得，利息收入及其再投资收益。债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（Interestrateimmunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。11111111*,(1)1(1)1(1)/1()/(/)(1)1(1)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCpPytCtCdPdyyyytCtCCdPPPdyyyyyDDy设债券的价格满足则有D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。债券的久期*111/1[/](1)(1)TTTtttttttttdPPDDdyyCCDttwyywt其中，为时期的权重久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占总现值的比例债券的久期久期：现金流现值翘翘板的支点久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！时间现金流债券的久期一、久期的性质久期是债券风险的计量指标，债券的久期与债券投资回报的标准差（即债券的风险）的关系如下*/dPPDdy由修正久期的定义得到*dPrDdyP债券的久期*2()()()dPVarrVarDVardyP*2*()()()()rdPVarrVarDVardyDVardyP则债券回报率的方差为则债券回报率的风险（标准差）为在收益率微小变动下，债券回报率的标准差（风险）为收益率的D*倍。D*越大债券风险越大。债券的久期债券的久期与息票率、收益率和到期时间有关，故久期性质就是讨论上述的变量关系，并以此探讨债券风险的特征。债券的久期11121(1)[/](1)(1)1020[...]/(1)(1)(1)(1)TtttTTttttttTTTttcDpyCCtyyTCCyyyyT定理1：零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。短期国债的Macaulay久期就是其投资期限。债券的久期定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期时间。1112211221[/](1)(1)12[,...,]/(1)(1)(1)(1)[...]/(1)(1)(1)(1)TTttttttTtTTttTtTTttCCDtyyCCCTCyyyyCTCTCTCTyyyy所以，D＜T债券的久期定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越大，久期越短。111111111111[]()()()()[]()()NkNNNkNNccpyyyyycycyyy1lnln{[1]}ln(1)(1)NNypcyyy证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则两边取对数得到债券的久期所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。另外当N→∞，久期为1+1/y11ln11(1)(1)(1)[1(1)](1)1[(1)]1()(1)1[(1)1]NNNNNNppypycNyyNyyycyyypDypyNycyycyy债券的久期1()(1)1[(1)1]NNycyDycyy对于每个支付期的票面利率为c、每个支付期到期收益率为y，还有N个支付期的债券，其久期计算公式为例：考虑息票率为10%，30年期的债券，每年支付利息2次，假设该债券按面值发行，求该债券的久期6010.051[1]19.8758()9.93790.05(10.05)D半年年若该债券以面值出售11[1](1)NyDyy债券的久期定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。证明要点：若息票率相同，长期债券的波动大于短期债券1111(1)(1)(1)(1)(1)(1)nntnntntnntknCCFpyyyFkFkFyyy证明：对于任意的息票率，持有期为的债券价格为11111(1)(1)(1)(1)nntnnntFkFkFkFpyyyy持有n+1期的债券，有债券的久期1110111(1)(1)(1)1(1)nnnnkykyFkFFkFyyyyy当时，有，则1nnykpp当时，由此可见，1nnykpp当时，同理可证，以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈，即长期债券的久期大于短期债券。1111////nnnnnnnnpPpPdpPdpPyydydy即-债券的久期,111(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnFkFPViiFkFkFPViii证明：分别观察n期、n+1期和n＋2期的债券最后1、2期和3期现金流的现值，其中定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。即债券价格的波动幅度随着期限的增加而增加，但增加的速度递减：n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之间的差异债券的久期,2122,111,2,1221,2,1,1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnFkFkFkFPViiiiFkFFPVPViiiFkFFPVPViiiPVPVPVPVi债券的久期久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。其原因是：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增速递减。债券的久期11(1)TttttcDpy2121121122111(1)(1)(1)(1)1{[(1)(/)]()}1(1)1{}1TTttttttTtttTttttTttDptcytcyyppytcytcypypypyptcyDyp证明：由久期的定义定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越小，久期越大。债券的久期22211(1)(1)()0ttTTtttttcycyDtDpp22211(1)(1)()(2)ttTTttttcycytDttDDpp221(1)1{}01tTtttcyDDyyp=1下面证明2222111(1)(1)(1)22tttTTTttttttcycycytDDDDDppp债券的久期久期的应用例子：假设一个10年期零息债券，10年期即期利率为8％且具有0.94%的波动，则该债券回报的波动率为？*()100.948.7%10.08rDVardy债券的久期久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。用3个月的即期利率来折现30年的债券显然是不合理的。债券的凸性2221(1)111(1)(1)TtttttCdPcPdyPyy久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性（convexity）则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？债券的凸性22222(/)()()[]dpdpdpdppdDdydydydydypDc－凸性是根据债券价格p对收益率y的二阶导数给出的，其金融学意义比较难以理解，其中一种解释把凸性看成久期对利率的敏感度，这是错误的。债券的凸性凸性的金融学含义1dpyDdyp由定理6可知22121(1)1{}1(1)1{()}11tTtttTtttcydDDdyypcyStDypy又由于则债券的凸性2(1)1[]dDpypyppdypp记22,dpdpppdydy于是222(1)1[]11(1)()(1)11SpypyppyppppyyppppDDcyyy债券的凸性22222(1)111(1)()(1)SDDcyyyySDDcySDDcy21(1),()tTttcyStDp其中债券的凸性凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性越大。注意：久期是平均意义上的到期时间。凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。债券的凸性凸性的性质1.现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性越大。2.到期收益率越大（息票率越大），则凸性越小3.到期日越远（同等次数、同等量的现金流但支付越分散），凸性越大。4.凸性减少了债券的波动性。债券的凸性2222()111()21()2pydPdPdydypdyppdyDdycdy凸性具有减少久期近似误差的性质。利率变化引起债券价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅度要小。因此，在其他条件相同时，人们应该偏好凸性大的债券。根据泰勒公式债券的凸性例到期收益率5％债券价格100调整久期4.33年凸性26.3849给定以上数据，当到期收益率上升到7％时，债券的价格将如何变化？*24.331002%8.661()0.481321008.660.481391.82DcpDpyppcy债券的凸性1122pNpNp若债券具有相同的市场利率y1212dpdpdpNNdydydy由于久期是债券价格对利率敏感性的线性计量，因此，一个债券组合的久期就是对该组合中个别债券久期的加权平均。假设债券组合包括：N1份债券B1和N2份债券B2，其价格分别为p1和p2债券组合的久期与凸性1212111222121122121122111()()dpdpdpNNdydydyNpdpNpdpdppdyppdyppdyNpNpDDDwDwDpp1iNw对于个包含种债券、每种债券的投资比例为的债券组合11,1NNiiiiiDwDw债券组合的久期与凸性2222112112()111()21()21()21()2iiiiiiiinniportfolioiiiiiinniiiiiiportfolioportfoliopydPdpdydypdyppdyDdycdyprwrwpdywDdywcDdycdy债券组合的久期与凸性债券组合（久期）免疫由债券组合的回报率公式可知，当收益率上升时，债券组合可能发生损失，若组合的久期为0，则债券组合一定具有非负的回报，即相当于获得无风险利率的回报率。在债券组合管理中，希望构造一个久期为零的组合，由此来避免利率风险，即所谓的免疫性（immunity）。养老金在一定期限后面临支付义务（负债），为此对投资（资产）具有一定的约束。考虑负债与资产相等，但负债的久期小于资产的久期的，若利率上升可能恶化组合？债券组合的久期与凸性债券组合（久期）免疫2004年初，经测算某养老金负债的久期为7年，该基金投资两种债券，其久期分别为3年和11年，那么该基