灰色系统GM(1-1)模型.

灰色系统模型研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能，协调功能以及系统各因素之间的关联关系，因果关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。系统模型的建立，一般要经过思想开发，因素分析，量化，动态化，优化五个步骤。即语言模型，网络模型，量化模型，动态模型，优化模型。在建模过程中，要不断的将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往返，使整个模型逐步趋于完善。1.GM(1,1)模型G表示grey（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。定义1.1设则称为GM(1,1)模型的原始形式，其中为待定参数。0000((1),(2),,())Xxxxn1111((1),(2),,())Xxxxn01()()xkaxkb,ab设其中则称为GM(1,1)模型的基本形式。0000((1),(2),,())Xxxxn1111((1),(2),,())Xxxxn1111((2),(3),,())Zzzzn1111()(()(1))1,2,2zkxkxkkn；01()()xkazkb定理1.1设有非负序列：为的1-AGO（即一次累加）序列：其中；为的紧邻均值生成序列：其中0000((1),(2),,())Xxxxn1111((1),(2),,())Xxxxn101()()1,2,kixkxikn；1Z1X1111((2),(3),,())Zzzzn1111()(()(1))1,2,2zkxkxkkn1X0X若为参数列，且则GM(1,1)模型的最小二乘估计参数列满足[,]Taab010101(2)(2)1(3)(3)1,()()1xZxZYBxnZn01()()xkazkb1[,]()TTTaabBBBY定义1.2设为非负序列，为的1-AGO（即一次累加）序列，为的紧邻均值生成序列，则称微分方程为ＧＭ（１，１）模型（灰色方程）的白化方程，也叫影子方程。0X1X0X1Z1X11dxaxbdt01()()xkazkb定理１.2设如定理1.1中所述，其中,则１.白化方程的解（也称时间响应函数）为２.GM(1,1)模型的时间响应序列为,,BYa1[,]()TTTaabBBBY11101()(1)dxaxbdtxtx11()(1)atbbxtxeaa01()()xkazkb10(1)(1)1,2,,akbbxkxeknaa３.还原值0110(1)(1)()11;1,2,,aakxkxkxkbexekna2.灰色系统预测模型的精度检验预测就是借助于过去的探讨去推测、了解未来。灰色预测就是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统未来状态做出科学定量预测。定义2.1设原始数据序列相应的预测模型模拟序列:残差序列:相对误差序列:0000((1),(2),,())Xxxxn00001,2,Xxxxn00000000001,2,(1)1,(2)2,()nxxxxxnxn00000012,,,112knnxxxn则1.对于，称，为点的模拟相对误差，称为平均相对误差。2.称为平均相对精度，为点的模拟精度。3.给定，当成立时，称模型为残差合格模型kn00kkxkk11nkkn11kn且k定义2.2设为原始序列，为相应的模拟序列，为与的绝对关联度，若对于给定的，有，则称模型为关联度合格模型。定义2.3设为原始序列，为相应的模拟序列，为与的残差序列，则分别为的均值、方差；分别为残差的均值、方差。0X0X0X0X0000X0X00X0X202011111,nnkkxxkSxkxnn0X202021111,nnkkkSknn1.称为均方差比值，对于给定的,当时，称模型为均方差比合格模型。2.称为小误差概率，对于给定的,当，称模型为小误差概率合格模型。21sCs00C0CC010.6745ppkS00p0pp精度检验等级参照表00C0p指标精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.603.数列预测数列预测是对系统变量的未来行为进行预测，灰色系统基本模型GM（1，1）是较常用的数列预测模型。根据实际情况，也可以考虑采用其他灰色模型，在定性分析的基础上，定义适当的算子，对算子作用后的序列建立GM模型，通过精度检验后，即可用于预测。例1河南省长葛县乡镇企业产值（数据来源于长葛县统计局）。解：由统计资料查得产值序列为引入二阶弱化算子，令其中以及00000((1),(2),(3),(4))10155125882348035388Xxxxx，，，2D00000((1),(2),(3),(4))XDxdxdxdxd00001()(()(1)(4));41xkdxkxkxk2222200000((1),(2),(3),(4))XDxdxdxdxd其中于是X的1-AGO序列为设按最小二乘法求得参数的估计值为200001()(()(1)(4));41xkdxkdxkdxdk20(27260,29547,32411,35388)1,2,3,4XDXxxxx127260,56807,89218,124606X11dxaxbdt,ab0.089995,25790.28ab得GM（1，1）模型白化方程其时间响应式为得模拟序列110.08999525790.28dxxdt0.089995111131383428657411kxkexkxkxk1,2,,427260,29533,32337,35381Xxxx残差序列相对误差序列平均相对误差模拟误差，精度为一级。00,6,74,70000001,2,3412,,,120,0.0002,0.00228,0.0002,nxxxn4110.000670.067%0.014kk40.00020.01计算的灰色绝对关联度：从而X与x321141115022ksxkxxx32114111430.52ksxkxxx32111414171.52kssxkxxkxxxxx1||||11150211430.50.9970.9011150211430.571.51||||||ssssss关联度为一级计算均方差比C41242111131151.5,4137252465,6103.484kkxxkSxkxS41242221118.75,414154.75,64.464kkkSkS所以,均方差比值为一级。计算小误差概率：所以,小误差概率为一级，故可用2164.460.010.356103.48SCS10.67454116.80118.75,224.75355.25,411.75S10.674510.95ppkS故可用进行预测。这里给出5个预测值0.0899951011131383428657411kxkexkxkxk5,6,,938714,42359,46349,50712,55488Xxxx4.作业某大型企业1997-2000年四年产值资料试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。年份199719981992000产值（万元）27260295473241135388