高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√)3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：ab，q：acbc.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵f(x)＝x⇒f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，但f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f(x)＝x，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件．(4)∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件．题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1由充分条件、必要条件求参数范围例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有1－m≥－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≤10，解得m≤3.又m0，所以实数m的取值范围为{m|0m≤3}．引申探究1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以1－m≤－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≥10.解不等式组得m9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)．若p是q的充要条件，则－2＝1－m，10＝1＋m，m不存在．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2(1)“不等式(a＋x)(1＋x)0成立”的一个充分不必要条件是“－2x－1”，则实数a的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案(2，＋∞)解析不等式变形为(x＋1)(x＋a)0，因为当－2x－1时不等式成立，所以不等式的解集是－ax－1.由题意有(－2，－1)(－a，－1)，所以－2－a，即a2.(2)已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|1x3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案[－1,5]解析因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以a－4≤1，a＋4≥3，即a≤5，a≥－1，所以－1≤a≤5.命题角度2探求充要条件例3求关于x的一元二次不等式ax2＋1ax对于一切实数x都成立的充要条件．考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解由题意可知，关于x的一元二次不等式ax2＋1ax对于一切实数x都成立，等价于对于方程ax2－ax＋1＝0中，a0，Δ0⇔0a4.反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是m＝________.考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件答案－4或0解析由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于半径2，即|2＋m|2＝2，得m＝－4或0.充要条件的证明典例求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明充分性(由ac0推证方程有一正根和一负根)，∵ac0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x2＝ca0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac0)，∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，∴由根与系数的关系得x1x2＝ca0，即ac0，此时Δ＝b2－4ac0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.[素养评析](1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2x1”是“x1或x－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案C解析∵－2x1⇏x1或x－1，且x1或x－1⇏－2x1，∴“－2x1”是“x1或x－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p：x2－3x＋20，q：x－1x－2≤0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析命题p：1x2；命题q：1≤x2，故p是q的充分不必要条件．3．“θ＝0”是“sinθ＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由于当“θ＝0”时，一定有“sinθ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x2＋x－60的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，－3]解析由于A＝{x|x2＋x－60}＝{x|－3x2}，B＝{x|y＝lg(x－a)}＝{x|xa}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A⊆B，则有a≤－3.5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．答案充要解析(1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，∴l1∥l2，即a＝0⇒l1∥l2.(2)若l1∥l2，当a≠0时，l1：y＝12ax－12a，l2：y＝1ax－12a.令12a＝1a，方程无解．当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.∴a＝0是直线l1与l2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为()①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sinx；②若x5，则x2；③若x2－9＝0，则x＝3.A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，周期函数还有很多，如y＝cosx，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a，b为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析|a＋b|2＝|a－b|2⇔a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b⇔a·b＝0.4．已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：ax＋by＋c＝0，则a2＋b2＝c2是圆O与直线l相切的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由直线与圆相切得|c|a2＋b2＝1，即a2＋b2＝c2；a2＋b2＝c2时也有|c|a2＋b2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a，b，c是常数，则“a0且b2－4ac0”是“对任意x∈R，都有ax2＋bx＋c0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要