固体物理-第五章固体能带理论

第五章固体能带理论一、自由电子模型（前面几节使用的）在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均势场.索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布解释：1.电子气热容量2.电子发射3.电子气的顺磁与逆磁效应1.磁阻困难：2.霍耳效应3.电导、热导二、3个重要近似和周期性势场多粒子系统原子核静止多电子系统自洽场Fockhatree单电子系统即：每个电子在由正离子产生的和其他电子的平均电荷分布的势场中运动.绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。单电子近似：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。又称hartree-Fock自洽场近似。周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的。2.周期性势场：单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数）)()(xvaxv)()(rvrRvn1－D3－Dr为电子位置矢量nR为离子的位矢Schrodingereq.)()()())(2(22rkErrvm3.Bloch波1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子，气波函数由如下形式)()(ruerrki其中u具有晶格的周期性，即)()(332211anananruru证明：问题：求H的本征函数，直接求困难.方法：引进平移算符，TˆTˆ与Hˆ对易，求出了Tˆ的本征函数也就求出了Hˆ的本征函数定义平移算符：)()(ˆaxfxfT)2()(ˆ))(ˆ(ˆaxfaxfTxfTT由量子力学知道，如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数.问题：)()()()()())(ˆ(ˆxxTxHaxaxHxHT0)ˆˆˆ(THHT设为H的本征函数HˆTˆ对易否？与HˆTˆ对易与任意两个算符对易吗？设xPˆxˆ)()ˆˆˆˆ(]ˆ,ˆ[xPxxPxPxxxikxex)(ikxikxexixxexi)(ikxikxikxkxekxeeiikxeixPˆ,ˆ不对易.可以证明xPy,是对易的Tˆ)(x又是的本征值.)(x又是Tˆ的本征函数.)()(ˆxxT为本征值)()(ˆ))((ˆ2xxTxTT)()(ˆxxTnn取ikaek为变量)()(ˆ)(xexTaxika则：)()(xuexika其中：)(xu具有晶格周期性证明：)()(xuexika)()()()(xeexeaxuikaikxaxikBloch定理：在周期性势场中运动的电子的波函数具有如下形式)()(xuexika其中：)(xu满足晶格的周期性推广：三维情况)()(ruerrkirkie描写电子的共有化状态)(ru描写电子在原胞中的运动2）Bloch波的性质a.波函数不具有晶体周期性，而（k为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性)()(xuexika222|)(||)(||)(|xuaxxb.当k为虚数，描写电子的表面态，k＝is(s0))()(xuexsxS小于0时无意义.c)周期边界条件：)()(xNax)()(ˆ)(xexTNaxikNa1ikNaexnNak2LNak22d)波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效.因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N可容纳的电子数为2N.)()(axxnKkk证明：)()()(ˆxeaxxTkikakk)()(ˆaxxTnnKkKk具有共同本征值.k与nKk描写同一状态.因此可以把波矢限制在第一布区内)()(xennKkaKki)(2xeenKkikani)(xenKkikaaka波矢数：NNaa2/2考虑自旋：电子数为2N解：（1）方法aaxaxaaxsin))(sin()(akak第一布区：)12(方法b.axeexikaikasin)()(xeika1ikaeaxeikasin)()(sin)()(xueaxaeaxuikaaxik例：电子波函数为：)()()().2(sin)().1(maxfixaxxmm求波矢k。1ikaeak2))1(()()()()(amxfimaaxfiaxmmm)()(1amxfimmmmmm1mmmaxfii)()(ieika)232(nakak2第一布区：三、单电子近似下电子的能量状态电子满足的薛定谔方程：)()()()()())(2(22xuexVnaxVxExxVmikx其中：在克龙尼克—潘纳模型下：ab0ca0Vcba周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界.这个模型有多方面适应性.改变b.a.c的值可以讨论表面态.合金及人造晶格的能带.禁带aa232V22V12V关于能带的讨论：1.在原理布区边界的区域内，电子的能量可粗略的视为自由电子的能量mkE2222.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽度为：|2|gllVElV为势能函数的第l个傅立叶分量lalxilaaalxileVxVdxexVaV2222)()(1产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射.3.在同一能带中，能量最大的地方称为带顶，能量最小的地方称为带底，能量最大值与最小值之差称为能带宽度.带底附近能量曲线是一开口向上的小抛物线，带顶附近，能量曲线是一开口向下的小抛物线.4.能量是k的周期函数，周期为倒格子矢量aKn2同时为k的偶函数：)()()2()(kEkEankEkE（1）第一布区图（2）扩展区图（3）周期区图5.能量曲线的三种表示方法禁带aa232V22V12V6.E为k的多值函数，以视区别)(kEs表示第s个能带的能量，而k表示在第一布区中取值.7.每个能带可容纳2N个电子，第一布区分立k的数目为NNNaa22考虑自旋2N解：dxexVaVbbalxil222)(1dxeVaaaalxi222012220|21bbalxiealiaVabllVsin20例1.求克龙尼克－潘纳模型第一、二、三个禁带的宽度.abVVEgsin4||2011|2sin|2||2022abVVEg|3sin|32||2033abVVEg2.二维情况下，晶体势场yaxaVyxU2cos2cos4),(求布区边界),(aa处的能隙宽度解：dxdyeyxVsVrKili),(42二维jhaiahk2122第一布区边界：1,121hhdyexVdxexVaVaayaiaaxai22222221)()(122222)(1dxexVaaaxaiUEg1220222cos216xdxaaUa2224aaUU能带计算我们介绍了一维周期场中电子的运动特征，获得了固体能带的主要结论.本章主要考虑三维情况，介绍能带的计算方法.一．回顾单电子近似1.绝热近似――多粒子体系变成多电子体系。原子核质量比电子大的多，运动速度慢，可以认为原子核固定在瞬时位置上.2.Hatree-Fock近似.多电子体系变为单电子体系.每个电子在离子核势场及其他电子产生的平均势场中运动.3．势场是周期性的.二．能带计算的一般步骤：1.选取某个适当的具有Block函数形式的函数集（函数集的选取决定于所取的近似）将电子波函数在此集合中展开.2.将电子波函数（展开后的）代入薛定谔方程得到一组各展开系数所满足的久期方程.3.由各系数不全为0的有解条件（久期方程的系数行列式为0），求出能量本征值.4.依据能量本征值，求出波函数展开系数.三.平面波方法一、平面波函数及其正交性平面波：rKilleNr1)(lklk为倒格矢量，有很多个，由这很多个波矢为倒格矢的平面波组成一函数集.正交性：)()()(nmrdrrnm正交性),(rm)(rm互相“垂直”，即任意一个波函数在另一个波函数上的投影为0.证明：rdeNNrkkimn)(1左边rdeNrkil1rrr令rdeeNrkiNrkili1原式rdeeNrkirkill101)1(rdeNeNrkirkill0lknmkk即二、波函数与势函数在平面波函数集中展开：平面波函数集：rkilN1波函数：)()(ruerkrkilrkilkleNaru)(lrkkilleNar)()(势函数：0)()(mrkimmekVrVla为展开系数所以V具有周期性.三、中心方程及其解)()())(2(22rErrVmlrkkilrkkillmrkimllmeNaEeNaekVm)()(22))(2(01)())(2()()(22lmlrkkkilmrkkillmlleaNkVeNaEkkm左乘)(1nkkieN然后对晶体积分，利用正交性质NrkkkillmlmrkkillnmlnleNakVrdeNaEkkm)()(22)())(2(00)())()(2(22mmnnmnlakkVakEkkmKittle称之为中心方程.各方程有解之条件：0|)())()(2(|det22mmnnnlakkVkEkkm矩阵元nmA)()(222kEkkml)(mnkkVmnmn如果选取为某个固定方向，计算这个方向的能带kmn\1231234)()(2212kEkkm)(21kkV)(31kkV)(12kkV)()(2222kEkkm)(32kkV)(13kkV)(23kkV)()(2232kEkkm)(14kkV)(24kkV)(34kkV平面波方法简单，但收敛较慢，取很多个平面波来计算，计算工作量较繁，如果取200个平面波，则得到200阶行列式，40000个矩阵元，这就要求容量相当大的计算机.虽然有求解行列式专用程序，工作量之大是可想而知的.如果计算方法是取一个k计算一个点那么多少阶行列式则可解出多少个能量本征一个能量本征值代表一个许可态，去不同的值则可得到k多少个能量谱线.讨论：1.近自由近似—零级波函数为平面波rkieNrk1),(0与波函数lrkilrkiieaeNrk1),(比较10a为小量la由中心方程：mkKkmKVannn2)(2)(2222与微分结果一致.2.两分量近似不再很小时，当nnakKk22)(rKkirkileNeNrk)(11),(中心方程得：0)()2(022llaKVaEkm0)()(2(022