随机过程-习题-第5章

随机过程习题第5章15.1设有周期信号如图题5-1所示，求它相关函数和功率谱密度。解：首先，][211d1d12/32/002/52/302/32/4/54/34/34/00jnjnjnjnjnjnTTtjnTTtjnneeTjnjneeTjneeTteTteTa于是，为偶数为奇数nnnnnan,0,)(4)]cos(1[)(4222所以，该信号的时间相关函数为0)12(212)(njnneaR确定性周期信号的功率谱密度是其时间相关函数的傅氏变换，即))12(()(0212fnfafnn或者)(fS1tf2T/2-1随机过程习题第5章25.25.35.4设有二平稳随机过程，它们的功率谱密度分别为，（1）2)2(3)2()2()(242ffffS（2）6)2(5)2(1)2()(242ffffS求其相应的相关函数及其均方值。(1)解：因为2)2(3)2()2()(242ffffS1)2(12)2(222ff所以，相关函数为||||22122)(eeR均方值为2122)0()|)(E(|2Rt(2)解：因为随机过程习题第5章36)2(5)2(1)2()(242ffffS2)2(13)2(222ff所以相关函数为：||||24233)(eeR均方值为：4233)0()|)(E(|2Rt5.5设一平稳随机过程的功率谱密度如图题5-5所示，即，（其它频率）0)({)(000fffffSfS求其相关函数及其均方值。图题5-5解：参见教材348页图5-10，将其中的f用代替，得相关函数ffSRfjde)()(2fffffjfffffjfSfS0000dede2020fffffjfffffjjSjS00002e2e2020)(fS0S0f0ff0f2f2随机过程习题第5章4)2sin(e)2sin(e2020fSfSfjfj)2cos()2sin(200ffS于是均方值为fSffffSRR00042)2sin()2cos(4lim)(lim)0(5.6设有线性时不变动态系统，其冲激响应为)(th。如果输入为一平稳随机过程)(t，它的相关函数为)(R，协方差函数为)(C，试证输出过程)(t的相关函数可以表示为duuRuRRh)()()(其中，dtutRthuRhu)()()(。)(uRh称为系统的相关函数，并证明duuRuCtVartDh)()()}({)((1)证明：输出过程为duuthuttht)()()()()(dudvvthuthvuRttR)()()(),(21作变换：vuttuutt211则上式=uddtuththuttR)()()(21=uduRuRh)()((2)证明：因为2)0()]([RtD而duuth)(=duuth)(=duuh)(及随机过程习题第5章5duuRuRRh)()()0(duuRuRtD)(])([)]([2而)(])([2uCuR。所以原式得证。5.7设有一“平均电路”如图题5-7所示，即当输入为)(tx时，平均电路的输出为tTtduuxTty)(1)((1)试证该电路的冲激相应为其它时间001)(TtTth(2)求第6题所定义的系统的相关函数为hR（1）如果该电路的输入为一平稳随机过程，其协方差函数为值其它01)(002TTC用上题的方法求输出过程)(t的方差)]([tD解：(1)由给定的输入和输出之间的关系可得：)(txtTtduuxTty)(1)(图题5-7平均电路随机过程习题第5章6)(1)(1)(TtxTtxTdttdy对上式两边取拉氏变换得：sTsTesxTesxTsxTssy1)(1)(1)(1)(于是得系统的传递函数为sTesxsysHsT)1()()()(它对应的冲激函数为其它001)(TtTth(2)第6题中所定义的系统的相关函数为TTTTdtTTTTdtTdtththRTTh||00101)()()(20222即TTTTRh||0||0||)(2(3)由第6题的结论可知dRCtDh)()()]([于是，当TT0时随机过程习题第5章7)3(32)(32)(2||||1)]([02200020320202000222020000TTTTTTTTTTdTTTTTTdTTTtDTTTT当TT0时)3(32)(32||||1)]([00200203202202TTTTTTTTTdTTTtDTTT5.8设有线性时不变系统，它的冲激响应为)()(tUetht其中，为常数，U(t)阶跃函数。如果系统的输入为一宽平稳随机过程，它的相关函数为||)(eR(0)。求输入输出间的互相关函数)(R，设3，1，画出)(R，问是否对称于=0的轴。解：输入输出间的互相关函数为0122121)()()]()([),(duuttRuhttEttR因此，随机过程习题第5章80,0,)()()()(0)(0)(0dueedueedueeduuRuhRuuuuuu)(1)(1)(222UeUeUe当=3，=1时，)(R如下图所示。显然，)(R不对称于=0的轴。解决这个问题的另一种方法是功率谱方法。首先，输出和输入的互谱密度函数为)()()(fSjfHfS其中，fjjfH21)(22)2(2)(ffS随机过程习题第5章9于是，互谱密度函数为fjfjfjfS212122)(22其对应的互相关函数为)(1)(1)(2)(22UeUeUeR因此，输入和输出的互相关函数为)(1)(1)(2)()(22UeUeUeRR5.95.105.11有实平稳随机过程)(t，其相关函数为)(R，试证明)]2()0([41)()0(nnRRRR证明：因为)2cos)()((2)()0(dfffSdffSRR))2cos1)(((2dfffS))sin)((42dfffS又)2cos)()((42)]2()0([411dfffSdffSRRnnnndfffSnn)2cos1)((421dfffffffSn)2(cos)2(cos)2(cos)(cos)(sin)(41222222随机过程习题第5章10因为，1)2(cos)2(cos)2(cos)(cos122222ffffn所以，)]2()0([41)()0(nnRRRR5.12试证明表5-12中相应的功率谱密度表达式的正确性。表中)(t代表平稳随机过程，)(R代表)(t的相关函数，)(fS代表)(t的功率谱密度。表5-12过程相关函数功率谱密度)(t)(R（已知）)(fS（已知）（1）)(ta)(2Ra)(2fSa（2）dttd)(22)(dRd)()2(2fSf（3）nndttd)(nnndRd2)2()()1()()2(2fSfn（4）tfjet02)(02)(fjeR)(0ffS解：(1)显然)(ta的相关函数为)(2Ra，于是)(ta的功率谱密度为)()()(222fSadeRafSfj(2)于是dttd)(的功率谱密度为dedRdfSfj222)()(deddRfj2))((随机过程习题第5章11deddRfjeddRfjfj22)()2()(deRfjeRfjeddRfjfjfj222)()2()()2()(=)()2(2fSf（3）利用分步积分，递推过程同（2），推导略。（4）)()()()(0)(22200ffSdeRdeeRfSffjfjfj5.13.设有平稳随机过程)(t，它的样本函数如图题5-13(a)所示。每个脉冲的宽度为，幅度为1，即每个脉冲的面积为1，而脉宽0；脉冲的出现规律符合泊松分布，即单位时间内出现的平均脉冲个数为，不相交叠的时间间隔内出现的脉冲数是相互统计独立的，TnenTTnP!)(),(，n=1，2，3，…；每个脉冲极性可正可负，出现正或负的概率各为21，不同脉冲出现正或负是相互统计独立的。(1)求此随机过程的相关函数)(R(2)求它的功率谱密度)(fS(3)若把该随机信号送入积分电路，求其输出)(t的样本函数。输出随机信号的功率谱密度)(fS为何？（电路如图5-13(b)所示）1t)()(tk0随机过程习题第5章12图题5-13(a)图题5-13(b)解：（1）在图5-13中，脉宽0时得到的是一个复合泊松脉冲过程，也就是一个复合泊松过程的微分过程。因此可以先求复合泊松过程的相关函数，然后再求复合泊松脉冲过程的相关函数。)]}()()()[({)}()({),(11212121tXtXtXtXEtXtXEttRx由其产生的复合泊松脉冲过程，有：)(][][)(222nnYEYER此处0][nYE，1][2nYE，故)()(R（2）功率谱密度函数为相关函数的傅立叶变换：)(fS（3）积分电路的传递函数为121)(fRCjfH故输出的功率谱函数为：)()()(2fSfHfS=2)2(1RCf样本函数如图题5-14。5.14设有平稳随机过程)(t，它的样本函数如图5-14所示，每个脉冲的波形为负指数波形即)()(utUkeutk，u为脉冲的出现时刻，它符合泊松分布规律，且单位时间)(t)(tRC随机过程习题第5章13内出现的脉冲平均个数1。求证)(t的功率谱密度)(fS为2222)(kfkfS现有二个线性系统，它们的转移函数分别为